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数学基础知识与典型例题
第 5 章平面向量
平
面
向
量
相
关
知
识
关
系
表

其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数
量。研究这些运算 ,发现它们有很好地运算性质 ,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础 ,向量确实是一个好工具 .特别是向量可以用坐标表示 ,且可以用坐标来运算 ,向量运算问题可以完全坐标化 .
刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：
运
算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与
OA+OB = OC
记 OA
1
1
1 2
减法
=(x ,y ),OB =(x ,y )
则
OA OB
=(x1
2 1 2
)
OB OA= AB
+x ,y +y
OB OA
2
121）
=（x -x ,y -y
OA+ AB = OB
一、向量的有关概念
: 既有大小又有方向的量叫做向量 .向量的大小叫向量的模 ( 也就是用来表示向量的有向线段的长度 ).
:

实数与
向 向量的
量 乘积
的 两个向
概 量的数
念 量积
及 (二)运算律

AB =λ a
记 a =(x,y)
λ∈R
则λ a =(λx,λy)
a b a b cos a,b
记 a (x1, y1 ), b (x2 , y2 )
则 a · b =x1x2+y1y2
⑴字母表示法 :如 a,b, c, 等.
⑵几何表示法 : 用一条有向线段表示向量 . 如 AB , CD 等 .
⑶坐标表示法 : 在平面直角坐标系中 , 设向量 OA 的起点 O 为在坐标原点 , 终点A坐标为 x, y , 则 x, y 称为 OA 的坐标 , 记为 OA = x, y .
注: 向量既有代数特征 , 又有几何特征 , 它是数形兼备的好工具 .
向 3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量 .向量可以自由平移 ,平移前后的向量
量
相等 .两向量 a 与 b 相等 ,记为 a b .
的
注:向量不能比较大小 ,因为方向没有大小 .
概 4. 零向量 :长度为零的向量叫零向量 .零向量只有一个 ,其方向是任意的 .
念 5. 单位向量 :长度等于 1 个单位的向量 .单位向量有无数个 ,每一个方向都有一及 个单位向量 .
运 6. 共线向量 : 方向相同或相反的非零向量 ,叫共线向量 . 任一组共线向量都可以
算
移到同一直线上 .规定 : 0 与任一向量共线 .
注:共线向量又称为平行向量 .
相反向量 : 长度相等且方向相反的向量 . 二、向量的运算
(一)运算定义
①向量的加减法， ②实数与向量的乘积， ③两个向量的数量积 ,这些运算的定义都是 “