内切球和外接球例题.doc

其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点
高考数学中的内切球和外接球问
都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
题
9
一、直接法 (公式法 )
8 ，底面周长为３，则这个球的体积为
1、求正方体的外接球的有关问题
.
例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在
解
设正六棱柱的底面边长为
x ，高
同一球面上，则该球的表面积为
6x
3,
x
1 ,
9
6
3
x
2h,
2
．
______________ .27 .
为 h ，则有 8
4
h
3 ∴
例 2
一个正方体的各顶点均在同一
r
1
正六棱柱的底面圆的半径
2 ，球心到底
球的球面上，若该正方体的表面积为
24 ，
d
3
面的距离
2
.∴外接球的半径
则该球的体积为 ______________. 4
3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
r 2
d 2
V 球
4
R
1.
3 .
例 3 （2007年天津高考题） 一个长方
二、构造法 (补形法 )
体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点
1、构造正方体
上的三条棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面
例 5 （2008 年福建高考题） 若三棱锥
积为
.14 .
的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3 ，
例 4、（2006年全国卷 I ）已知各顶点
则其外接球的表面积是
都在一个球面上的正四棱柱高为
4，体积

为 16，则这个球的表面积为（
）. C.
解
据题意可知，该三棱锥的三条侧
A. 16
B. 20
棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一
C. 24
D. 32
个棱长为
3 的正方体，于是正方体的外
接球就是三棱锥的外接球 .设其外接球的
例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形， R
半径为 ，则有
2
2
2
2
2R
3
3
39
.∴
R2 9
.故其外接球的表面积
S 4R2 9 .
小结 一般地，若一个三棱锥的三条