数学的竞赛中地数论问地的题目.doc

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数学竞赛中的数论问题
罗增儒
引言
数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．
什么是正整数呢？人们借助于“集合〞和“后继〞关系给正整数〔当时也即自然数〕作过本质的描述，正整数1，2，3，…是这样一个集合：
〔1〕有一个最小的数1．
〔2〕每一个数的后面都有且只有一个后继数；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．
这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：
〔3〕对的子集，假如，且当时，有后继数，如此．
就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜测：
1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明〔已解决〕．“表示为两个素数和的形式〞就是著名的哥德巴赫猜测，简称1+1．
欧拉认为这是对的，但证不出来．
1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题．
1966年陈景润证得：一个素数+素数素数〔1+2〕，至今仍无人超越．
●陈景润的数学教师沈元很重视利用名人、名言、名事去激励学生，他曾屡次在开讲时，说过这样的话:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜测如此是皇冠上的明珠．……〞陈景润就是由此而受到了启示和激励，展开了艰辛卓绝的终生奋斗和灿烂辉煌的奋斗终生，离摘取“皇冠上的明珠〞仅一步之遥．
●数论题涉与的知识不是很多，但用不多的知识来解决问题往往就需要较强的能力和精明多的技巧，有人说：用以发现数学人才，在初等数学中再也没有比数论教材更好的课程了．任何学生如能把当今一本数论教材中的练习做出，就应当受到鼓励，劝他〔她〕将来去从事数学方面的工作〔U．Dudley《数论根底》前言〕．下面，是一个有趣的故事．
当代最高产的数学家厄尔多斯听说一个叫波萨〔匈牙利，1948〕的小男孩很聪明，就问了他一个问题加以考察〔1959〕：如果你手头上有个正整数，这些正整数小于或等于，那么你一定有一对整数是互素的，你知道这是什么原因吗？
不到12岁的波萨只用了1分半钟，就给出了问题的解答．他将1～分成〔1，2〕，〔3，4〕，…，〔〕共个抽屉，手头的个正整数一定有两个属于同一抽屉，这两个数是相邻的正整数，必定互素．
通过这个问题，厄尔多斯认定波萨是个难得的英才，就精心加以培养，不到两年，14岁的波萨就发表了图论中“波萨定理〞．
●重视数学能力的数学竞赛，已经广泛采用数论题目，是数学竞赛四大支柱之一，四大支柱是：代数，几何，初等数论，组合初步〔俗称代数题、几何题、算术题和智力题〕．高中竞赛加试四道题正好是四大模块各一题，分别是几何题、代数题、数论题、组合题，一试中也会有数论题．数论受到数学竞赛的青睐可能还有一个技术上的原因，就是它能方便地提供从小学到大学各个层面的、新鲜而有趣的题目．
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数论题的主要类型：在初中竞赛大纲中，数论的内容列有：十进制整数与表示方法；整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算； 简单的一次不定方程．
在高中竞赛大纲中，数论的内容列有：同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[]，费马小定理，格点与其性质，无穷递降法，欧拉定理，孙子定理．
根据已出现的试题统计，中学数学竞赛中的数论问题的主要有8个重点类型：
〔1〕奇数与偶数〔奇偶分析法、01法〕；
〔2〕约数与倍数、素数与合数；
〔3〕平方数；
〔4〕整除；
〔5〕同余；
〔6〕不定方程；
〔7〕数论函数、高斯函数、欧拉函数；
〔8〕进位制〔十进制、二进制〕．
下面，我们首先介绍数论题的根本内容〔10个定义、18条定理〕，然后，对数学竞赛中的数论问题作分类讲解．
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第一讲 数论题的根本内容
中学数学竞赛中的数论问题涉与的数论内容主要有10个定义、18条定理．
首先约定，本文中的字母均表示整数．
定义1 〔带余除法〕给定整数如果有整数满足
，
如此和分别称为除以的商和余数．特别的，时，如此称被整除，记作，或者说是的倍数，而