二次函数的实际的应用之利润最大值、面积最值问题.doc

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二次函数的实际应用——最大利润问题、面积最大(小)值问题
一：最大利润问题
知识要点：
二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值X围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值〔或最小值〕．
即当时，函数有最小值，并且当，；
当时，函数有最大值，并且当，．
如果自变量的取值X围是，如果顶点在自变量的取值X围内，如此当，，如果顶点不在此X围内，如此需考虑函数在自变量的取值X围内的增减性；如果在此X围内随的增大而增大，如此当时，，当时，；
如果在此X围内随的增大而减小，如此当时，，当时，．
商品定价一类利润计算公式：
经常出现的数据：商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他本钱。
总利润=总售价-总进价-其他本钱=单位商品利润×总销售量－其他本钱
单位商品利润=商品定价－商品进价
总售价=商品定价×总销售量；总进价=商品进价×总销售量
[例1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造本钱为18 元，试销过程中发现，每月销售量y 〔万件〕与销售单价x〔元〕之间的关系可以近似地看作一次函数y= ﹣2x+100 ．〔利润= 售价﹣制造本钱〕 〔1 〕写出每月的利润z 〔万元〕与销售单价x 〔元〕之间的函数关系式； 〔2 〕当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？〔3 〕根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造本钱需要多少万元？
解：〔1 〕z= 〔x -18 〕y= 〔x -18 〕〔-2x+100 〕= -2x2+136x-1800 ，∴z 与x 之间的函数解析式为z= -2x2+136x-1800 ；〔2 〕由z=350 ，得350= -2x2+136x -1800 ， 解这个方程得x1=25 ，x2=43 所以，销售单价定为25 元或43 元， 将z =-2x2+136x-1800 配方，得z=-2 〔x-34 〕2+512 ， 因此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元；〔3 〕结合〔2 〕与函数z=-2x2+136x ﹣1800 的图象〔如下列图〕可知， 当25≤x ≤43时z ≥350 ， 又由限价32 元，得25 ≤x ≤32 ， 根据一次函数的性质，得y=-2x+100 中y 随x 的增大而减小，∴当x=32 时，每月制造本钱最低最低本钱是18 ×〔-2 ×32+100 〕=648 〔万元〕，因此，所求每月最低制造本钱为648 万元．
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[练习]：1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设涨价〔或降价〕为每件元，利润为元，
为涨价时的利润，为降价时的利润
如此：
当，即：定价为65元时，〔元〕
当，即：，〔元〕
综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．
[例2]： 市“