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*三、环流量与旋度
斯托克斯公式
*环流量与旋度
第七节
一、斯托克斯公式
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
第十一章
一、斯托克斯公式
定理1. 设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,
(斯托克斯公式)
个空间域内具有连续一阶偏导数,
的
侧与的正向符合右手法则,
在包含在内的一
证:
情形1. 与平行 z 轴的直线只交于
一点,
设其方程为
为确定起见, 不妨设取上侧(如图).
则有
简介
则
(利用格林公式)
定理1
因此
同理可证
三式相加, 即得斯托克斯公式;
定理1
情形2 曲面与平行 z 轴的直线交点多于一个,
则可
通过作辅助线把分成与z 轴只交于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,
由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,
所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立.
注意: 如果是 xOy 面上的一块平面区域,
则斯托克斯
公式就是格林公式,
故格林公式是斯托克斯公式的特例.
证毕
定理1
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
或用第一类曲面积分表示:
定理1
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
解: 记三角形域为, 取上侧,
则
个边界, 方向如图所示.
利用对称性
例2. 为柱面
与平面 y = z 的交线, 从 z
轴正向看为顺时针,
解: 设为平面 z = y 上被所围椭圆域,
且取下侧,
利用斯托克斯公式得
则其法线方向余弦
公式其他形式
计算
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2.
设 G 是空间一维单连通域,
具有连续一阶偏导数,
则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线, 有
(2) 对G内任一分段光滑曲线,
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使
(4) 在G内处处有
(2) 对G内任一分段光滑曲线,
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使
证:
由斯托克斯公式可知结论成立;
(自证)
设函数
则
定理2