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数学小论文和研究性解题讲座
〔闻仲良〕
序
物质世界事物万千，表现各异，互相依存互相联系，而数学工作者总是以最紧凑节约的方式来表述事物的部规律，并且总结出许多方法，对于从事数学教育的工作者而言，不仅要知其然而且要研究它们，以到达知其所以然的境界。
科学文化知识是全人类智慧的结晶。我们学习科学知识的目的在于应用，灵活应用它们去解决实际问题，在解决问题的过程中，使书本知识化为自身的知识构造。在反复实践中，升华自身的知识，到达提高素质、增强能力的目的。
针对本科生有撰写毕业论文的要求，为了提高学生的数学素养、数学研究和应用能力而开设的如何撰写数学小论文和研究性解题的讲座颇受学生的欢迎。现将讲稿整理成书，以飨读者。本书大致分为数学思考方式与解题策略研究、解题方法研究以及论文选讲三个局部，共分十一讲，适用于数学本科生和中等数学工作者。
第一讲 数学思考方式
作为数学工作者，总是通过数学的思考方式来处理具体问题的。所谓数学的思考方式大致可描述如下：
建立模型： 对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要而且有用的特征的表示。
最优化： 通过提问"如果……将会……〞和考察所有的可能性来寻求最优解决方案。
符号化： 用一种在通讯和计算中都是最紧凑节约的形式把自然语言推广到抽象概念的符号表示。
推断： 从数据、从前提、从图形、从不完全和不一致的原始资料进展推演。
逻辑分析： 寻求前提中蕴含的东西以及寻求能解释所观察到的现象的根本原理。
抽象化： 选出为许多不同现象所共有的性质进展专门的研究。
综合除法
考察下面的除法的竖式表示：
得到商式为 ，余式为 。
当我们仔细考察上述运算过程时，不难发现，在除法进展的过程中，文字 并不起什么作用，其实质是系数在进展运算。我们只要"固定〞各次幂的位置，就可运算如下：
这比原来的要简单多了。假设我们继续考察上述的操作过程，我们还可发现除式中的1"形同虚设〞，而每次运算的第一项总是在"照抄〞。于是我们可再抽象如下：
上述的书写象走"楼梯〞似的，所占篇幅太大。假假设我们把其压缩成一格，就可到达紧凑节约的目的。同时将改为2，那么上述的减法变为加法。最后将压缩后的改写如下：
这个经过逐步"加工〞的最终"产品〞与原材料相比，已是"面目全非〞了。然而它却以最紧凑最经济的表达形式向我们展示了"综合除法〞。
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加减消元法。
解方程组
解 ，得
得
得
观察上述求解过程可发现，"形同虚设〞，只是它们的系数在进展运算。那么我们只要固定的位置，就可安排下面的运算表：
这一改写使得我们可在"表格〞上推演方程组的求解过程。不仅如此，而且对于一元次方程组也适用。
例3 二元一次方程组的公式解
解 ①② 得
①② 得
为了使公式表示简捷且便于记忆，引入行列式记号 ，
记 ， ， ，
那么 。 〔克兰姆法那么〕
为了使三个行列式更便于记忆，我们可把方程组的系数排成一个表格如下：
那么 第一列和第二列；第二列和第三列；第三列和第四列构成的行列式正是。
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要提高能力，首先要学好科学文化知识，提高文化素养，其次要随时随地运用已学到的知识去解决实际问题，这样日积月累，到一定的程度会有一个质的飞跃，把学到的知识升华为自己的素质和能力。这是一个从量变到质变的过程。也就是说，素质的提高需要有一个从量变到质变的过程。而促进质量变过程的尽早到来的方法就是勤学苦练和精思。
学习要先学会思索，有思才会有所得。"读书之要"有言曰：观书，需先熟读，使其言皆假设出于吾之口；继而精思，使其意皆假设出于吾之心；然后可有得耳。
下面二命题摘自