向量解题技巧.docx

一、怎 么 样 求 解 向 量 的 有 关 概 念 问 题
掌握并理解向量的基本概念
１ . 判断下列各命题是否正确
若 a b , b c, 则 a c ；
(2)
两向量 a、 b 相等的充要条件是 a b 且 a、 b共线 ；
(3)
a b 是向量 a b 的必要不充分条件；
若 A、 B、 C、D 是不共线的四点，则 AB D C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
AB CD 的充要条件是 A 与 C 重合， B与D 重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法
两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，
要平移到同一起点；重要结论： a 与 b 不共线，则 a b与 a b 是以 a 与 b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标
等 终 点 坐 标 减 起 点 坐 标 ， 即 若 A( x1 , y1), B( x2 , y2 )
， 则
AB OB OA ( x2 , y2 ) ( x1, y1 ) (x2
x1, y2
y1 ) 。
例 1
若向量 a
(3,2), b
(0,
1),则 2b
a的坐标是 _______
例 2
若向量 a
(1,1), b
(1,
1), c
( 1,2)则 c ____
例 3
在平面直角坐标系中，
O 为坐标原点，已知两点A(3,1), B(
1,3), 若点
C满足 OC
OA OB ，其中
,
R 且
1 ，则点 C的轨迹为（
）
例 4
O 是平面上一定点，
A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点
P 满足
OP OA ( AB AC ) ， [ 0, ) ，则 P 的轨迹一定过 ABC 的（）
AB AC
A. 外心 B. 内心
例 5 设 G是 ABC 内的一点，试证明 :
若 G是为 ABC 重心，则 GA GB BC 0 ；
(2) 若 GA GB BC 0 ，则 G是为
ABC 重心。
三、三点共线问题的证法
证明 A,B,C 三点共线，由共线定理
( AB与 AC共线 ) ，只需证明存在实数
，使
AB AC ，，其中必须有公共点。
共线的坐标表示的充要条件，若 a
(x1, y1 ),b
(x2 , y2 ) ，则
例 1
已知 A、 B 两点， P 为一动点，且 OP
OA tAB ，其中 t 为一变量。
证明： 必在直线 AB上； 取何值时， P 为 A 点、 B 点？
例 2
证明：始点在同一点的向量
a、 b、3a
2b 的终点在同一直线上
例 3
对于非零向量 a、 b ,求证：a
b a b
a b