《定积分应用》.ppt

《定积分应用》
回顾
曲边梯形求面积的问题
a
b
x
y
o
§ 定 积 分 的 应 用
定积分的微元法
面积表示为定积分的步骤如下
（3） 求和，得A的近似值
《定积分应用》
回顾
曲边梯形求面积的问题
a
b
x
y
o
§ 定 积 分 的 应 用
定积分的微元法
面积表示为定积分的步骤如下
（3） 求和，得A的近似值
a
b
x
y
o
（4） 求极限，得A的精确值
提示
面积元素
元素法的一般步骤：
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
平面图形的面积
.
.
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退 出
设平面图形由连续曲线
和直线
围成，其中
(图6-3)，我们来求它的
面积
图6-4
解
两曲线的交点
面积元素
选 为积分变量
.
.
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退 出
及直线
所围成(图6-5)，
取
作积分变量，则其面积 A为
图6-5
若平面图形由连续曲线
解
两曲线的交点
选 为积分变量
.
.
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退 出
例3 求椭圆
所围图形的面积
.
图6-8
解 因为椭圆关于两坐标轴对称(图6-8)，
所以椭圆所围图形的面积是第一象限
内那部分面积的4倍，对椭圆在第一
象限部分的面积,取
作积分变量,
,面积元素
.
.
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退 出
所以
应用定积分换元法，令
则
，当
时，
；当
时，
于是
.
.
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退 出
例4 求由曲线
及直线
所围的平面图形 的面积 ．
图6-9
解 由方程组
解得两曲线的交点为
如图6-9所示．
取
作积分变量，当
时，面积元素
当
时，
.
.
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退 出
面积元素
因此有
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
旋转体的体积
x
y
o
旋转体的体积为
解
直线 方程为
.
.
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练习： 计算由椭圆
所围图形绕
轴旋转而
成的旋转体(见图6-11)的体积．
解 这个旋转体实际上就是半个椭圆
及
图6-11
轴所围曲边梯形绕
作积分变量，
，体积元素
轴旋转而成的立体，取
.
.
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退 出
所以，所求体积
特别地，当
时就得到半径为
的球的体积为
类似地，若旋转体是由曲线
，直线
和
轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转一周而
成的，则其体积为
.
.
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退 出
例6 求由曲线
和
轴所围图形绕
一周所得旋转体的体积．
轴旋转
图6-12
.
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退 出
解 如图6-12所示，
的反函数分为两支，
和
因此，所求的旋转体的体积为
练习：习题6-4 题2 （2）
.
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退 出
定积分在经济学中的应用举例
假设某产品的固定成本为
—由边际函数求总函数
，边际成本函数为
边际收益函数为
，其中
为产量，并假定该产品
处于产销平衡状态，则根据经济学的有关理论及定积分
的微元分析法易知：
总成本函数
总收益函数
总利润函数
.
.
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例7 设某产品的边际成本为
(万元/百台)，固定
成本
(万元)，边际收益
(万元/百台)，
求：
(1) 产量从100台增加到500台的成本增量；
(2) 总成本函数