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连续性概念
第一页，本课件共有58页
§1 连续性概念
第四章 函数的连续性
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解：
1、
y
1
2
0
2
1
x
2、
(1,2)
从图象上看， 在 ，
时的改变量。
解： 的初值为1，
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例2 讨论函数
在 处的连续性，并作出函数的图象。
解： 根据定义的三个步骤进行验证：
（1） 的定义域是 ，故 在
及其附近有定义， ;
（2）
所以
（3）
因此 在 处连续。
x
0
4
1
2
3
-1
-2
1
2
3
y
符合定义的三个步骤。
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在 处连续。
例3 适当选取 的值，使函数
解：
（1） 的定义域是 ，在
及其附近有定义 。
（2）
即 ，此时
欲使 在 处连续，须有
（3）
所以 时， 在 处连续。
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练习2 用定义讨论函数
在 处的连续性并作图。
解：由定义的三个步骤进行验证：
（1）
（2）
所以，
（3）
函数 在 处连续。
1
-1
x
y
0
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二、 函数的间断点
如果函数 在 处不连续，那么称函数
在 处是间断的，并称点 为函数 的间断点或不连续点。
由函数 在 处连续的定义知，当函数
有下列三种情形之一时，函数 在 处间断。
（1）
在 近旁有定义，但在 处没有定义。
（2）
虽在 处有定义，但 不存在。
（3）
虽在 处有定义，且 存在，但
定理1 基本初等函数在其定义域内都是连续的。
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通常把间断点分成两类
设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点
不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点
在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点
间断点的类型
注:
.
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
lim
0
0
0
0
的可去间断点
为
则称
或有定义但
无定义
在点
而
若
x
f
x
A
x
f
，
x
x
f
A
x
f
x
x
¹
=
®
不相等者称为跳跃间断点
注:
.
)
(
),
(
lim
)
(
lim
,
,
)
(
0
0
0
0
的跳跃间断点
为函数
则称点
但
右极限都存在
的左
在点
若函数
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
x
-
+
®
®
¹
无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点
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（2）
函数
在 处有定义，但
不存在。所以， 是该函数的间断点。
例如：
（1）函数 在 处无定义
所以 是该函数的间断点。
2
-2
2
y
x
0
1
-1
x
y
0
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(3)
函数 ，在