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第1章 随机事件与其概率
1排列组合
2关系运算
A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)
p13
x2
p21
p22
p23
X3
P31
P32
P33
P(Y=yj)
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连
续
型
二维随机变量的本质
联
合
分
布
函
数
称为二维随机向量〔X,Y〕的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
〔1〕 〔2〕F〔x,y〕分别对x和y是 减的
〔3〕F〔x,y〕分别对x和y是右连续的,即
〔4〕
〔5〕对于.
离散型与连续型的关系
边
缘
分
布
离散型
; 。
连续型
条
件
分
布
离散型
连续型
;
独
立
性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y) 充要条件:①可别离变量②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
=0
随机变量的函数
假如X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立, h,g为连续函数,如此:
h〔X1,X2,…Xm〕和g〔Xm+1,…Xn〕相互独立。
特例:假如X与Y独立,如此:h〔X〕和g〔Y〕独立。例如:假如X与Y独立,如此:3X+1和5Y-2独立。
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二维均匀分布
其中SD为区域D的面积,称〔X,Y〕服从D上的均匀分布,记为〔X,Y〕~U〔D〕。
假如(X,Y)服从矩形区域a≤x ≤ b,c ≤ y ≤ d上的均匀分布,如此(X,Y)的两个边缘分布仍为均匀分布,且分别为
二维正态分布
二维正态分布,〔X,Y〕~N〔
可以推出 X~N〔 但假如X~N〔,(X,Y)未必是二维正态分布。
函数分布
Z=X+Y
, 对于连续型,fZ(z)=
两个独立的正态分布的和仍为正态分布〔〕。
卷积公式:
M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布〔极值分布〕
设随机变量X,Y相互独立且分布函数分别为FX(x),FY(y)如此M与N的分布函数分别为
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分布
设n个随机变量相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量W服从自由度为n的分布,记为W~,其中
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性:设
如此
t分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且
可以证明函数 的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为T~t(n)。
F分布
设,且X与Y独立,可以证明的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F~f(n1, n2).
第四章 随机变量的数字特征
一维随机变量的数字特征
离散型
连续型
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期望(平均值)
E(X+Y)=E(X)+E(Y); E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X和Y独立;充要条件:X和Y不相关。
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
方差,标准差
,
D(C)=0; D(aX)=a2D(X); D(aX+b)= a2D(X); D(X)=E(X2)-E2(X)
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立; 充要条件:X和Y不相关。
矩
①k阶原点矩νk=E(Xk)=
②k阶中心矩
=, k=1,2, ….
①k阶原点矩νk=E(Xk)=
②k阶中心矩
= k=1,2, ….
切比雪夫不等式
E〔X〕=μ, D〔X〕=σ2 :
期望E〔X〕
方差D〔X〕
E[X〔X-1〕}/备注
0-1分布
p
二项分布
np
n(n-1)p2
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分
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