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§ 高斯公式通量与散度
一、高斯公式
二、通量与散度
高斯公式的物理意义、
散度
散度的计算、通量、高斯公式的另一形式
一、高斯公式
定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成,函数
P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数,则有
这里S是W的整个边界的外侧,cosa 、cosb 、cosg是S上点(x, y, z)
处的法向量的方向余弦. 这两个公式称为高斯公式.
证明
如图所示,把S看成由S1,S2和S3三部分组成,其中S1和S2的
方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ,S1 取下侧,S2 取上侧,S3 取外
xy.
简要证明:
x
y
z
O
W
S2 :zz2(x, y)
S3
S1 :zz1(x, y)
Dxy
根据三重积分的计算法,有
另一方面,有
以上三式相加,得
类似地有
把以上三式两端分别相加,即得高斯公式.
解这里P(yz)x,Q0,Rxy,
由高斯公式,有
x
y
z
O
1
1
3
解设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧,则S与S1一起构成一个闭曲
面,记它们围成的空间闭区域为W.
x
y
z
O
x2y2 h 2
h
S1
S
而
因此
由高斯公式得
二、通量与散度
高斯公式
的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量,左
端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总
质量.
高斯公式的物理意义:
在流速场
F{ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}
内一定点M(x, y, z)附近任取一包围M点的闭曲面S,设S所围成的
区域为W,W的体积为V,则
散度:
表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量,而
表示在点M处单位时间内所产生的流量,我们称其为向量场F在
点M的散度,记为divF,即