平面向量知识点归纳.doc

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平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面
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二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，如此为二面角的平面角.
如图：
②求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，如此二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
◆如果是锐角，如此，
即；
如果是钝角，如此，
即.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
假如Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，如此点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
假如点P为平面外一点，点M为平面内任一点，
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平面的法向量为，如此P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑶直线与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
即
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，如此两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。
即
6、三垂线定理与其逆定理
⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
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推理模式：
概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
推理模式：
概括为：垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理
设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BD⊥ (AD)所成的角为， AD与AC所成的角为， AB与AC所成的角为．如此.
8、 面积射影定理
平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，
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平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，如此
9、一个结论
长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,如此有 .
〔立体几何中长方体对角线长的公式是其特例〕.
根底练习
一 选择题
1．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，如此以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有()
A．6个B．7个
C．8个D．9个
解析：，，，，，，，，共9个，应当选D.
2．设不共线的两个非零向量e1，e2，且k(e1＋e2)∥(e1＋ke2)，如此实数k的值为(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．0
答案：A
3．向量是不共线向量e1，e2，给出如下各组向量：
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①a＝2e1，b＝e1＋e2；②a＝2e1－e2，b＝－e1＋e2；
③a＝e1＋e2，b＝－2e1－2e2；④a＝e1＋e2，b＝e1－e2.
其中共线的向量组共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B　
4．E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设＝a，＝b，如此＝(　　)
A.(a＋b) B．－(a＋b)
C.(a－b) D.(b－a)
答案：B
5．如下计算正确的有(　　)
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋(2a＋2b)＝3a；
③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①对，②对，③错，因为a＋b－(a＋b)＝0.
答案：C
1．化简－＋所得结果是(　　)
A.　　　　　．0 D.
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