总结材料求矩阵地逆矩阵地方法.doc

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总结求矩阵的逆矩阵的方法
课 程 名 称：
专 业 班 级：
成 员 组 成：
联 系 方 式：
A.
用矩阵表示〔A I〕为〔I A〕，就是求逆矩阵的初等行变换法，，，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
例1 =.
解 [A I]
故 A=.
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，，如此意味着A不可逆，因为此时明确=0，如此A不存在.
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例2 求A=.
解 [A E]=
.
由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.
定理 n阶矩阵A=[a
A=
其中A是中元素a的代数余子式.
矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A，于是有A= A.
证明 必要性：设A可逆，由A A=I，有=，如此=，所以0，即A为非奇异.
充分性： 设A为非奇异，存在矩阵
B=，
其中
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AB=
===I
同理可证BA=I.
由此可知，假如A可逆，如此A= A.
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.
假如可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免
，一般要通过AA=，必须对每一计算逐一排查.
4．分块矩阵求逆法
命题 设A、A都是非奇异矩阵，且A为n阶方阵，A为m阶方阵
证明 因为==0, 所以A可逆.
设A=，于是有=,
其中 X A=I ， Y A=0，Z A=0，W A=、A都可逆，用A、A分别右乘上面左右两组等式得：
X= A，Y=0，Z=0，W= A
故 A=
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把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
=

命题　设A、A都是非奇异矩阵，如此有
=
证明 因为=
两边求逆得
=
所以 =
=
同理可证
=
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进展合理分块后方能使用.
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1 计算〔A+4E〕〔4E-A〕〔16E-A〕的行列式，其中 A=
解 令 =D
D=
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=
==.
虽然题目中出现了〔4E-A〕.但是经过化简之后不再出现此式，因此得
D==22500.
例2 n阶矩阵A满足A+2A-3E=：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
证明 把A+2A-3E=0变形为A+2A-8E=5E，即
〔A+4E〕〔A-2E〕=-5E，可得〔A+4E〕〔-A/5+2E/5〕=E，
所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使〔A+4E〕B=E，由定义得A+4E可逆，且
〔A+4E〕=B=-A/5+2E/5.
另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不必急于求出逆矩阵.
6．利用线性方程组求逆矩阵
假如n阶矩阵A可逆，如此A A=E，于是A的第i列是线性方程组AX=E的解，i=1,2,…,n,，我们可以去解线性方程组AX=B，
其中B=〔b,b,…,b〕,然后把所求的解的公式中的b,b,…,b分别用
E=〔1,0,0,…,0〕，
E=〔0,1,0,…,0〕，
……，
E=(0,0,0,…,1)
代替，便可以求得A的第1，2，…n列，.
例 求矩阵A=的逆矩阵.
解 设X=〔x,x,x,x,x〕,B=(b,b,b,b,b) 解方程组 AX=B，即：
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