3.2 泰勒公式.ppt

特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
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第一页，共2特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
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第一页，共26页。
1. 求 n 次近似多项式
要求:
故
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令
则
第二页，共26页。
2. 余项估计
令
(称为余项) ,
则有
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第三页，共26页。
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第四页，共26页。
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒中值定理 :
阶的导数 ,
时, 有
①
其中
②
则当
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第五页，共26页。
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立
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第六页，共26页。
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
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第七页，共26页。
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
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由此得近似公式
第八页，共26页。
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
麦克劳林公式
第九页，共26页。
其中
麦克劳林公式
第十页，共26页。
麦克劳林公式
类似可得
其中
第十一页，共26页。
其中
麦克劳林公式
第十二页，共26页。
已知
其中
因此可得
麦克劳林公式
第十三页，共26页。
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差
M 为
在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型:
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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第十四页，共26页。
已知
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解:
令 x = 1 , 得
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
因此
的麦克劳林公式为
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第十五页，共26页。
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过
总误差为
这时得到的近似值不能保证误差不超过
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
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第十六页，共26页。
例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 , 试确定 x 的适用范围.
解:
近似公式的误差
令
解得
即当
时, 由给定的近似公式计算的结果
能准确到 .
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第十七页，共26页。
2. 利用泰勒公式求极限
例3. 求
解:
由于
用泰勒公式将分子展到
项,
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第十八页，共26页。
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
证:
+
第十九页，共26页。
内容小结
1. 泰勒公式
其中余项
当
时为麦克劳林公式 .
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第二十页，共26页。
2. 常用函数的麦克劳林公式
3. 泰勒公式的应用
(1) 近似计算
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
(2) 利用多项式逼近函