中考数学与初中数学旋转有关压轴题.docx

中考数学与初中数学旋转有关压轴题.docx中考数学与初中数学 旋转有关的压轴题
一、旋转
1．(1)发现：如图

1，点

A 为线段

BC 外一动点，且

BC＝a， AB＝ b．填空：
当点

A 位
过 P 作 PE⊥ x 轴于 E，
∵△ APN 是等腰直角三角形，∴PE＝ AE＝ 2 ，
∴OE＝ BO﹣ AB﹣ AE＝ 6﹣4﹣ 2 ＝2﹣ 2 ，
P(2﹣ 2， 2)．
如图 3中，
根据对称性可知当点 P 在第四象限时，
P(2﹣
2 ，﹣
2 )时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点
P 坐标 (2﹣
2 ，
2 )或 (2﹣
2 ，﹣ 2 )， AM 的最大值为
2 +4．
【点睛】
此题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．正方形 ABCD中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为 DF 中点，连接 EG，CG．
1〕请问 EG与 CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；
2〕将图 ① 中△ BEF绕 B 点逆时针旋转 45°，如图 ② 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，
CG．问〔 1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由．
〔3〕将图 ① 中△ BEF绕 B 点旋转任意角度，如图 ③ 所示，再连接相应的线段，问〔 1〕中的结论是否仍然成立？〔请直接写出结果，不必写出理由〕
【答案】〔 1〕证明见解析〔 2〕证明见解析〔 3〕结论仍然成立
【解析】
【分析】
〔1〕利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出 CG=EG．
2〕结论仍然成立，连接 AG，过 G 点作 MN ⊥ AD 于 M ，与 EF的延长线交于 N 点；再证明△ DAG≌ △ DCG，得出 AG=CG；再证出 △ DMG≌ △FNG，得到 MG=NG；再证明
△AMG ≌ △ENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG．
〔3〕结论依然成立．
【详解】
〔1〕 CG=EG．理由如下：
∵四边形 ABCD是正方形， ∴ ∠ DCF=90 ．°在 Rt△ FCD中， ∵G 为 DF 的中点， ∴ CG=
1
FD，
2
同理．在 Rt△ DEF中， EG= 1
FD， ∴ CG=EG．
2
〔2〕〔 1〕中结论仍然成立，即 EG=CG．
证法一：连接 AG，过 G 点作 MN ⊥ AD 于 M，与 EF的延长线交于
N 点．
在△ DAG与 △ DCG 中， ∵ AD=CD， ∠ ADG=∠CDG， DG=DG， ∴ △DAG≌ △ DCG〔SAS〕，
∴AG=CG；
在△ DMG 与 △ FNG中， ∵∠ DGM=∠ FGN， FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴△ DMG≌ △ FNG 〔ASA〕， ∴ MG=NG．
∵∠ EAM=∠ AEN=∠AMN =90 ，°∴ 四边形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中， AM=EN．在 △AMG 与 △ ENG中， ∵ AM=EN， ∠AMG=∠ ENG， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG〔 SAS〕，∴AG=EG， ∴ EG=CG．
证法二：延长 CG至 M，使 MG=CG，连接 MF， ME， EC．在 △ DCG 与△ FMG 中，
FG=DG， ∠ MGF=∠ CGD， MG=CG， ∴ △ DCG≌ △ FMG，∴ MF=CD，∠ FMG=∠ DCG， ∴MF∥ CD∥ AB， ∴ EF⊥ MF．
在 Rt△ MFE 与 Rt△ CBE中， ∵ MF=CB， ∠MFE=∠EBC=90°， EF=BE， ∴△ MFE≌ △ CBE
∴∠ MEF=∠ CEB，∴ ∠ MEC=∠ MEF+∠ FEC=∠ CEB+∠CEF=90 °，∴ △ MEC 为直角三角形．
1
∵MG=CG，∴ EG= MC， ∴ EG=CG．
2
〔3〕〔 1〕中的结论仍然成立．理由如下：
过 F 作 CD