函数的单调性和奇偶性.doc

函数的单调性和奇偶性
[教学目的]
⒈使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；
⒉使学生了解奇函数、偶函数的概念，掌握判断函数奇偶性的方法.
[重点难点]
重点：函数的单调性、奇偶性的有关概念；
-,-/2]，[/2，]上是减函数，在区间[-/2，/2]上是增函数.
说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增〔减〕函数的定义进行证明，下面举例说明.
例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2), 由x1<x2,得x1-x2<0 ,于是f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).∴f(x)=3x+2在R上是增函数.
练习：判断函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.
解：设x1,x2∈R，且x1<x2，∵f(x1)-f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=3(x2-x1), 又x1<x2,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=-3x+2在R上是减函数.
例3 证明函数f(x)=1/x在(0,+)上是减函数.
证明：设x1,x2是(0,+)上的任意两个实数，且x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=(1/x1)-(1/x2)=(x2-x1)/x1x2, 由x1,x2∈(0,+ )，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2-x1>0 ,于是f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=1/x在(0,+ )上是减函数.
练习：判断函数f(x)=1/x在(-，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论.
解：设x1,x2∈(-，0)，且x1<x2，∵f(x1)-f(x2)=(1/x1)-(1/x2)
=(x2-x1)/x1x2, 由x1,x2∈(0,+)，得x1x2>0,又由x1<x2,得x2-x1>0 , ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=1/x在(-，0)上是减函数.
能否说函数f(x)=1/x在(-，+)上是减函数？
答：不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.
说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜测，然后通过推理的方法，证明这种猜测的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.
⒋ 目标检测
⑴ 判断函数f(x)=kx+b在R上的单调性，并说明理由.
⑵ 课本P60练习：4.
解：⑴设x1,x2∈R，且x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2).
假设k>0，又x1<x2,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).∴f(x)=kx+b在R
上是增函数.
假设k<0，又x1<x2,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=kx+b在R
上是减函数.
⑵设x1,x2∈(0,+)，且x1<x2，∵f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=
(x1+x2)(x1-x2). ∵0<x1<x2,∴x1+x2>0，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
∴f(x)=x2+1在(0,+)上是增函数.
三、小 结
⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;
⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值，且x1<x2；⑵作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形〔要注意变形的程度〕；⑶判断f(x1)-f(x2)的正负〔要注意说理的充分性〕；⑷根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性.
四、布置作业
(一)复习：课本P58-60内容，熟悉稳固有关概念和方法.
(二)书面：：1—3做在课本上；4题做在作业本上.
答案：⒈--⒊见下一节；
⒋⑴f(x)=(x-5/2)2-1/4是以(5/2,-1/4)为顶点、对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线〔如图〕;它的单调区间是(-,5/2]与[5/2,+ );它在(-,5/2]上是减函数，在[5/2,+ )上是增函数.
证明：设x1<x25/2,那么f(x1)-f(x2)=
x12-x22-5(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-5).∵x1<x25/2,∴x1+x2<5，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).∴f(x)=