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向量解题技巧.docx一、怎么样求解向量的有关概念问题
掌握并理解向量的基本概念

(1)
若a
b,bc,则ac；
(2)
两向量a、b相等的充要条件是a
b且a、b共线；
(3)
a
b是向量ab的必要2a?bb2；(ab)(ab)a2
b2
a；(ab)
例1
,
,
）
设abc是任意的非零的向量，且相互不共线，则（
①(a?b)c(c?a)b0;②abab;
）
不与
垂直
2
2
③(b?c)a
④(3a
2b)(3a
2b)9a
4b
(a?c
?b
c
其中是真命题的为（
）
A.①②B.②③
C.③④D.②④
例2
已知平面上三点
A、B、C，满足AB
3,BC
4,CA
5,则AB?BC
BC?CACA?AB的
值等于________。
例3
已知向量a和b的夹角为120
，且a
2,b
5,则(2a
b)?a
______.
六、如何求向量的长度
形如
a
b的模长求法：先平方
转化为含数量积运算
开方，即：
a
2
2a2
2a?b
2b2
b
例1
已知向量a,b,a
b
4,a与b的夹角为60,则ab
____,
ab
____,其中
ab与a方向的夹角为_____,a
b与a方向夹角为______.
例2
设向量a,b满足a
b
1,3a
2b
3,求3a
b的值。
七、如何求两向量的夹角
夹角公式：cos
a?b
x1x2
y1y2
ab
2
2
?
2
2
x1
y1
x2
y2
例1
已知a
10,b
12,且(3a)?(
1
b)
36,求a,b的夹角_____.
5
例2
若e与e
是夹角为60的单位向量，且
a
2e1
e2,b
3e1
2e2,求a?b及a与b的夹角。
1
2
八、垂直问题的求解
向量垂直的充要条件：
a
b
a?b
0
x1x2y1y2
0
例1若向量a,b满足a
b
a
b,则a与b所成的角。
例2在 ABC中AB (2,3),AC (1,k),且 ABC的一个内角为直角，求 k的值。
例3已知ab
,
a
2,
b
且。a
b与a
b垂直，求
3.
3
2
例4
已知O(0,0),A(0,5),B(6,3),AD
OB于点D,求D点的坐标。
九、向量的数量积的逆向应用
求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。
例1已知a(4,3),b
1,且a?b
5,则b?
例2
求与向量a
(
3,
1)
和b
(1,
的夹角相等，且模长为
２的向量c的坐标
3)
例3
若平面向量b与向量a
(1,
2)的夹角是180，且b
3
5,则b()
A.(3,6)
B.(3,
6)
C.(6,3)
D.(6,3)
例4已知向量b与向量a
(
3,4)垂