《均值不等式公式总结及应用》.docx

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《均值不等式公式总结及应用》
《均值不等式公式总结及应用》
均值不等式应用
2
2
1. (1) 若 a , b
, 5 4 x
5
3231
4
4 x 5
5
4 x
当且仅当 5
4 x
1
，即 x 1
时，上式等号建立，故当
x 1 时， y m a x 1 。
5
4 x
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例 1.
当
时，求 y
x (8
2 x ) 的最大值。
分析：由
知，
，利用均值不等式求最值，一定和为定值或积为定值，本题为两个式子积的形式，但
其和不是定值。注意到
2 x
(8
2 x )
8 为定值，故只要将
yx (8
2 x ) 凑上一个系数即可。
当
，即 x ＝ 2 时取等号
当 x＝ 2 时， y
x (8
2 x ) 的最大值为 8 。
评注：本题没法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可获得和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设 0
x
3
4 x ( 3
2 x ) 的最大值。
，求函数 y
2
3
2
解：∵ 0
x
0 ∴ y
4 x (3
2 x )
2
2 x 3 2 x
9
∴3 2 x
2 x (3 2 x )2
2
2
2
当且仅当 2 x
3 2 x , 即 x
3
3
4
0 ,
时等号建立。
2
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技巧三：
分别
2
7 x 1 0
例 3. 求 y
x
x
( x1) 的值域。
1
分析一：本题看似没法运用均值不等式，不如将分子配方凑出含有（ x＋ 1）的项，再将其分别。
,即
时, y
2 （ x
4
5 9 （当且仅当 x＝ 1 时取“＝”号）。
当
1)
x
1
技巧四：换元
分析二：本题看似没法运用均值不等式，可先换元，令
t=x ＋1 ，化简原式在分别求最值。
( t
2
）
2
4
4
1)7 ( t 1 +1 0 t
5 t
y
=
t
5
t
t