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均值不等式
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教 材 回 归1. 算术平均值如果a,b∈R+,那么________叫做这两个正数的算术平均值.2. 几何平均值如果a,b∈R+,那么________叫做这两个正数的几何平均值.
第类轮换对称不等式时具有一定的普遍性.
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类型二:求最值解题准备:1. 利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值.(1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),当x=y时,x+y有最小值2 (简记为:积定,和有最小值);(2)如果x>0,y>0,x+y=S(定值),当x=y时,xy有最大值  S2(简记为:和定,积有最大值).
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2. 应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:(1)如果a,b∈(0,+∞),则;(2)若x∈(0,+∞),则x+ ≥2;若x≠0,则x+ ≥2或x+ ≤-2(当且仅当x=y时取等号);(3)ab≤( )2(当且仅当a=b时取等号);(4)a2+b2+c2≥ab+ac+bc(当且仅当a=b=c时取等号).
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典例2(1)设0<x<2, 求函数的最大值;(2)求 的取值范围;(3)已知x>0,y>0,且x+y=1,求 的最小值.
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分析：(1)由0<x<2可知3x>0,8-3x>0.由于3x+(8-3x)=8,可由均值不等式得3x(8-3x)≤
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(2)显然a≠4,当a>4时,a-4>0,当且仅当 =a-4,即a=4+3时取等号;
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当a<4时,a-4<0,
当且仅当 =(4-a),即a=4-3时取等号.∴ +a的取值范围是(-∞,-2 +4]∪ +4,+∞).
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(3)∵x>0,y>0,且x+y=1,
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(1)在利用均值不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上均值不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)
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(2)小题中 +a虽不是定值,但变形为 +(a-4)+4即可发现 ×(a-4)=3为定值,,通常化成 恒正或恒负)的形式,然后运用均值不等式来求最值.
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(2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是解答本题的关键,方法是在式子上乘以(x+y).利用均值不等式求最值时,要注意三个条件,即:“一正､二定､三相等”,本题常见的误解为∵x>0,y>0,∴,此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件
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不等式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意有目的性､同向性,(2)小题中当a>4,即a-4>0时,要用均值不等式必须前面添负号变为正.
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类型三:利用均值不等式解应用题
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解题准备:均值不等式作为求最值的常用工具,:①仔细阅读题目,透彻理解题意;②分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变量设为函数;③应用均值不等式求出函数的最值;④还原实际问题,作出解答.
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典例3某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.
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(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,