离散数学集合.ppt

长春工业大学离散数学课程组离散数学计算机科学与工程学院 2010 年?秋集合论是一门研究数学基础的学科,是现代数学的基础,是数学不可或缺的基本描述工具。可以这样讲,现代数学与离散数学的“大厦”是建立在集合论的基础之上的。 21 世纪数学中最为深刻的活动,就是关于数学基础的探讨。这不仅涉及到数学的本性,也涉及到演绎数学的正确性。数学中若干悖论的发现,引发了数学史上的第三次危机,而这种悖论在集合论中尤为突出。集合概述随着计算机时代的到来,集合的元素已由传统的“数集”和“点集”拓展成包含文字、符号、图形、图表和声音等多媒体信息,构成了各种数据类型的集合。集合不仅可以用来表示数及其运算,更可以用来表示和处理非数值信息。集合论的方法已经成为计算科学工作者不可缺少的数学基础知识。集合概述集合论发展史 1873 年至 1883 年德国数学家康托尔(Cantor )发表的系列论文奠定了集合论的基础。特别是 1883 年康托尔的《集合论基础》专著的出版,成为集合论理论研究的里程碑。这门学科今天已经成为整个数学的基础。” 1899 年德国数学家舍恩弗利斯第一篇点集论的论文在《德国数学家联合会年报》上发表。 1914 年德国数学家豪斯道夫出版《集合论大纲》更是集合论及点集拓扑学的经典著作。 19和20 世纪之交人们发现了一系列集合论悖论,表明集合论是不协调的,这使得人们对数学推理的正确性和结论的真理性产生了怀疑,触发了第三次数学危机。 1908 年策梅罗( 1871 -1953 )提出第一个公理集合论系统,后经德国- 以色列数学家弗兰克尔(1891 -1965 )和挪威数学家斯科兰姆( 1887 -1963 )的补充和修正,得到现在公认的策梅罗-弗兰克尔公理系统, 简记为 ZF,ZF如果另加选择公理( AC),则所得的公理系统简记为 ZFC 。 1925 年大数学家冯· 诺伊曼( 1903 -1957 )开创了另一套公理系统,后经伯奈斯(1888 -1977 )及哥德尔( 1906 -1978 ) 的改进形成了 NBG 公理系统。 1938 年哥德尔证明了:从 ZF 推不出 AC 的否定,从 ZFC 推不出 CH 的否定, 即AC对于 ZF,CH对于 ZFC 是相对无矛盾的。 1963 年科恩( 1934 - )创立著名的力迫法,证明了 AC 对于 ZF,CH 对于 ZFC 的相对独立性,即从 ZF推不出 AC,从 ZFC 推不出 CH。集合论发展史学习集合在数学理论研究中,通常把概念分为两类,一类是原始概念,另一类是派生概念。所谓派生概念是指可以由其他概念来定义的概念。原始概念则是无法由其他概念给以定义的概念。集合也是一种原始概念,不能给出确切的定义,只能给出说明性的描述。内容提要容斥原理 3集合的划分与覆盖 4 集合的定义 1集合间的运算及性质 2n元组与笛卡儿积 5 第1 章集合本章学习要求重点掌握熟练掌握了解 1 1 集合表示方法 2 集合与元素之间的关系 3 集合与集合之间的关系 4 特殊的集合 3 1 划分与覆盖 2 n 元组概念 2 1 集合的运算 2 容斥原理 3 笛卡儿积 集合的基本概念?集合集合是指具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体。集合中的每一个对象称为集合的元素,通常用大写字母表示集合,用小写字母表示集合中的元素。对集合概念的理解:?集合是现代数学的最基本的概念; ?集合不能给出精确定义,只能给出说明性描述; ?集合是我们描述问题的一种基本工具; ?集合将世间万物分成两类:属于或不属于. ?集合与集合中元素的关系—隶属关系说明: ?读作属于; ?读作不属于例: A={ a,b, c,d },则有 b ?A,e? A. 若A表示一个集合, a是集合 A中的元素,记作a?A,读作 a属于 A;若 a不是集合 A中的元素,则记作 a?A,读作 a不属于 A。