等比数列的概念及其性质.doc

等比数列的概念与通项公式

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列_________，这个常数叫做等比数列的公比______，公比通常用字母q表示＝1，∴32×()n－1＝1，
即26－n＝20，∴n＝6.
考点二：等比中项
例2、等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是(　　)
A．90 B．100C．145 D．190
[答案]B
[解析]设公差为d，由题意得a＝a1·a5，
∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d，
∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，
∴S10＝10×1＋×2＝100，故选B.
跟踪练习：等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则＝________.
[答案]
[解析]由题意知，a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d，
∴＝＝.
考点三：等比数列的实际应用
例3、培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)?
[解析]由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中a1＝120，q＝120，因此，a5＝120×1204≈×1010.
答：×1010粒．
跟踪练习：容积为aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?
[解析]开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1－.投操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度是an＋1＝an(1－)．所以{an}构成以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列．所以an＝(1－)n，即第n次操作后溶液的浓度是(1－)＝2时，由a1＝()n<，得n≥4.
因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
考点四：等比数列的判定
例4、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)
(1)求证{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解析](1)∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)即bn＋1＝2bn，
∵b1＝a1＋1＝2≠0.∴bn≠0，
∴＝2，
∴{bn}是等比数列．
(2)由(1)知{bn}是首项b1＝2公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n即an＋1＝2n，
∴an＝2n－1.
跟踪练习：在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝，证明数列{－1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．
[解析]由a1＝2，an＋1＝可知，对n∈N*，an≠0.
由an＋1＝两边取倒数得，＝＋.
即－1＝，
∵a1＝2，∴－1＝－.
∴数列{－1}是首项为－，公比为的等比数列．
∴－1＝－n－1＝－n.
∴an＝.
例：等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．
[错解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得
，
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由②除以①，得q(1－q)＝.
∴q＝，
∴a1＝＝96.
∴a6＝a1q5＝96×()5＝3.
∵a5、a7的等比中项为a6，
∴a5、a7的等比中项为3.
[辨析]　错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
[正解]设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1，
由已知，得，
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由得q(1－q)＝，
∴q＝，∴a1＝＝96.
令G是a5、a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×()10＝9，
∴a5、a7的等比中项是±3.
等比数列的性质
{an}的一些简单性质
(1)对于任意正整数n、m都有＝qn－m.
(2)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则apaq＝ar·as_______________特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝(ap)2______.
(3)对任意常数k(k≠0)，{kan}仍成等比数列，公比为q_____.