二次型结合方案对称矩阵结合方案之间同构.doc

摘要令‰表示特征为2的有限域蜀上仇元二次型的集合, %表示局上n x %与K上的两个结合方案。我们证明了揣与碥同构当且仅当(n,q)=(2,2)或(n,q)=(3,2). 关键词结合方案、同构 Abstract X, denote the set of quadratic f orms ove r a e of 2. We of gra ph which ha s x, as set , and two adjacent whenever the type of@ 一y)is prove distance cas e n>3;r2一 is strongly regular graph f or the cas e n= ≥ 4. Keyword : quadratic forms , strongly regular gra ph2 1绪论设x为一有限集,lXl=礼,Ro,R1, …,Rd是x × x的一些子集,满足如下条件(1)Ro={(z,z)lz ∈ x); (2 )X× X=凰 u R1 u- ??u Rd , Ri nRj= ≯,(i ≠』); (3)对于i E(o,l, …,d),令。R=_[(z,Y)l(可,z) ∈兄),那么存在i。∈{0,l, …,d),使得2咒=Ri,; (4)对于i,』,惫∈^(o,1, ???,d),设(z,Y) ∈ Rk,刃F么 z∈ xI(z,z) ∈兄,(Z,Y) ∈马].I 是一个常数,它与(z,可)的选择无关,而仅与i,J,庇有关, 记作p易; 那么这样一个构形石=(X,1[R)_o ≤瞪d)叫做x上的一个(非交换)(5)p乞;p ‰ Yi,歹; (6)i ’=i, Ⅵ. ,如果疋是对称的, . 令酝=pO,,,,我们有如下一些基本关系乜=pO,,k9=1,Ixl=ko+七1+ …+kd, 南=6坊砖o=6蜘碍=乜6巧一,够%=砖…, p待b,慨=码磙,, ∑d t。=n墨=Op酰. 关于结合方案的概念及其基本性质参见文献[1]. 利用矩阵构作结合方案是由万哲先开始的,1965年, 他利用有限域只。上的nX礼Hermite矩阵构造了一个他一类的结合方案,并计算了n=2时的参数【11】,王仰贤[151,霍元极和祝学理[5】’霍元极和万哲先[6】以及王仰贤和马建敏【16]先后讨论了Hermite矩阵,长方矩阵, 交错矩阵以及对称矩阵的结合方案,,[3J讨论了二次型的结合方案,通过定义两个二次型X和y有第i种结合关系,如果rank (x—Y) =2i一1或2i , ,[7】讨论了特征2的有限域FD上二次型关于‘类型’定义结合关系的结合方案,并且计算了q=2时的参数痂叫扑王仰贤等人利用矩阵方法讨论了一般q时这个结合方案的参数计算. 令-)厶表示特征为2的有限域R上n元二次型的集合,K 表示R上n × . ‰上的关于‘类型’定义的结合方案,.坛是定义在K上的对称矩阵结合方案。我们证明了%与碥同构当且仅当(礼,q)= (2,2)或(n,q)=(3,2). 2二次型结合方案和对称矩阵结合方案令日表示q个元素的有限域,这里口是2的一个方幂,n芝2 × n矩阵的集合,%表示日上全体n × ,B( ∈地)关于%同余,如果A~B ∈%,这时-i5)OA兰B(mod%).%关于K。『A].熟知,B上n元二次型∑ ig aijxixj与[A]一一对应,这里A= (n订) (o巧=0 , i>J ).T∈ Gk (B) 引起二次型的变形对应于矩阵类[A]的‘同步’变形[姒T ’】,. 这里。是日的不属于N的一个固定元,N=fz2+x]x ∈届). 上述三种矩阵统一说成是(2 Ⅳ+占,L,)型的,这里6= 0, ∥+占.(2u, ∥)型简记为2u+: (2u+1, ∥)型简记为2 Ⅳ+1;(2u+2, ∥)型简记为2u+2一. 这样,n元二次型的型为0,1,2+,2一,3,4+, …….非零的型共有凡+h/2]个. 令瓦表示R上全体n元二次型的集合,我们在%上定义关系: (o,Y) ∈ R{= ≥o — Y的型为i 这里z,Y ∈%,i ∈’(o,l,2斗,2一,3,4+, …]..易证,由此所定义的