矩及协方差矩阵.pdf

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 n    n 1!!
2
2 返回主目录第四章 随机变量的数字特征
因而，
n
n  n 1!! n为偶数
EX  
 0 n为奇数
其中，
135  n n为奇数
n!! 
246  n n为偶数
特别，若 X ~ N 0， 1, 则
n n 1 !! n为偶数 4
EX   , n  4时， EX  3.
 0 n为奇数
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2、n维正态分布的性质
1) n 维随机变量(X1,, X n ) 服从 n维正态分布 X1,, X n
的任意线性组合l1 X1    ln X n 服从一维正态分布。
若 服从 维正态分布， 是
2) (X1,, X n ) n Y1,,Yn X j ( j  1,,n)
的线性函数，则 也服从正态分布。
(Y1,,Yn )
3) 若 (X1,, X n ) 服从 n 维正态分布，则 X1,, X n 相互独
立 X1,, X n 两两不相关。
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例2 (1) 设 X ,Y 独立，X ~ N (1,4), Y ~ N (2,9),
求：2X  Y 的分布；
(2) (X ,Y ) ~ N(1,2;4,9;)
求：2X  Y 的分布；
解：(1) E( 2X  Y )  2EX  EY  0
D( 2X  Y )  4DX  DY  4  4  9  25
则：2X  Y ~ N(0,25)
(2) D(2X  Y )  4DX  DY  2  2COV (X ,Y )
1
 25 - 4 DX DY  25  4   2  3  13
XY 2
则：2X  Y ~ N(0,13) 返回主目录第四章 随机变量的数字特征
例3 设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为

1
f (x, y)  [ 1 (x, y)   2 (x, y)],
 2
其中 1 (x, y)和 2 (x, y)都是二维正态密度函数，且它们对应
1 1
的二维随机变量的相关系数分别为 和  ，它们的边缘密
3 3
度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1.
(1)求随机变量X 和Y 的密度函数f X (x) 和fY (y) ，
及X 和Y 的相关系数
(2)问X 和Y 是否独立？为什么？
解（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都
是正态密度函数，因此有第四章 随机变量的数字特征

 1    
f X (x)  f (x, y