直线和椭圆的交点问题.docx

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直线和椭圆的交点问题
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直线和椭圆的交点问题
可编写可改正
线和椭圆的交点问题
1．若直线 与椭圆 恒有公共点，务实数 m的取值范围。
解法一：由 可得 ，
∴ 即 ∴直线和椭圆的交点问题
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线和椭圆的交点问题
1．若直线 与椭圆 恒有公共点，务实数 m的取值范围。
解法一：由 可得 ，
∴ 即 ∴ 且
解法二：直线恒过必定点（ 0,1）当 时，椭圆焦点在 轴上，短半轴长 ，要使直线与椭
圆恒有交点，则 即
当 时，椭圆焦点在 轴上，长半轴长 可保证直线与椭圆恒有交点， 即 综
述： 且
解法三：直线恒过必定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点， 即要保证定点（0,1）在椭圆内部 ，
即 ∴ 且
二、直线截椭圆所得弦长问题
2．已知椭圆 ，直线 交椭圆于 AB，求AB的长.
解法一：设A、B两点坐标分别为 和
将直线方程 代入椭圆方程
得对于 的方程
∴
又 。
∴AB长为 。
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解法二：∵直线 过（1，0）点，即椭圆的右焦点 ∴
∴AB长为
。
评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点 到左、右焦点的距离分别为 和 。
三、直线截椭圆所得弦中点相关问题
3．已知椭圆方程为 ，求：
1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；
2）斜率为3的直线与椭圆订交所得弦的中点的轨迹；
3）过点（4，3）的直线与椭圆订交所得弦的中点的轨迹。
分析：设直线与椭圆交点为 ， ，则
①
②
①－②得
③
（1）∵弦中点坐标为（
4，1），∴
，
，
则由③式得直线斜率为
∴直线方程为 ，即 。
（2）设弦中点坐标为 ，