乌鲁木齐高级中学模拟题3.doc

乌鲁木齐高级中学模拟题3.doc乌鲁木齐市高级中学数学联赛模拟题 1 第一试( 100 分, 80 分钟) 一、选择题(每题 7 分,共 56 分) 1、.函数 3 12 1)(????xxxf 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 ba?的值是 2 、已知 x∈[0,π] ,比较 cos(sinx) 与 sin(cosx) 的大小关系是. 3 、正四面体的内切球和外接球的半径之比为 4、函数xxxy cos sin cos 23???的最大值等于 5 、函数( ) f x 的定义域为 D ,若满足①( ) f x 在D 内是单调函数, ②存在[ , ] , m n D ?使( ) f x 在[ , ] m n 上的值域为 1 1 [ , ] 2 2 m n ,那么就称( ) y f x ?为“好函数”。现有( ) log ( ), xa f x a k ? ?( 0, 1) a a ? ?是“好函数”,则 k 的取值范围是。 6 、有一个 m n p ? ?的长方体盒子, 另有一个( 2) ( 2) ( 2) m n p ? ????的长方体盒子, 其中, , m n p 均为正整数( m n p ? ?), 并且前者的体积是后者一半,p 的最大值为. 7 、方程!!!!zyxW???的所有正整数解为 8 、数列}{ na 中, 1 3, 3 ( 2) an a a n ? ??,求 2009 a 的末位数字。二、解答题( 44 分) 9 、( 14 分)设*21,,,Naaa n??,且各不相同,求证: .32 13 12 11 22 32 21n aaaan n??????????? 10 、( 15 分)某市有 n 所中学,第 I 所中学派出 C i 名学生( niC i????1, 39 1 )来到体育馆观看球赛, 全部学生总数为??? ni iC 1 1990 ,看台上每一横排有 199 个座位,要求同一学校的学生必须坐在同一横排. 问体育馆最少要安排多少横排才能保证全部学生都能坐下? ( 1990 年全国联赛二试 3) 11 、( 15 分)过抛物线 2xy?上的一点 A( 1,1 )作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D ,交 y 轴于 ,点 E 在线段 AC 上,满足 1?? EC AE ;点F 在线段 BC 上,满足 2?? FC BF ,且1 21????,线段 CD 与 EF 交于点 P. 当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. 第二试( 200 分, 150 分钟) 一、( 50 分)设 O为△ ABC 内一点,且∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COA=120 °,P 为任意一点( 不是 O) .求证: PA + PB+PC > OA+OB+OC . 二、( 50 分)如图,在一个 6×6 的棋盘上,已经摆好了一些 1×2 的骨牌,每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子,证明:如果还有 14 个格子没有被覆盖, 则至少能再放进一个骨牌. 三、( 50 分)若整数 a、b、c 使得抛物线 2 y ax bx c ? ??在区向( 0,1 )上有两个不同的交点,求 a 的最小正整数值四、( 50 分)