概率论与数理统计 --- 第六章{样本及抽样分布} 第四节：抽样分布.ppt

数理统计第四节抽样分布三个重要分布正态总体统计量的分布数理统计一、三个重要分布)(~ 22n??记为: 1. ??分布(chi-square distribution) 定义:设X 1, X 2, …, X n互相独立, 都服从正态分布 N (0, 1), 2 22 21 2nXXX????????分布是由正态分布派生出来的一种分布. 则称随机变量: 所服从的分布为自由度为 n的??分布. ??分布的密度函数为: 1 2 2 21 , 0 ( ; ) 2 ( 2) 0, 0 n x n x e x f x n nx ? ??????????其中, 伽玛函数Γ(x)通过如下积分来定义: 10 ( ) , 0. t x x e t dt x ??? ?? ? ??数理统计 Probability density function (概率密度函数) Cumulative distribution function (分布函数) 数理统计),,( 2??N 1)设相互独立, 都服从正态分布 nXXX,,, 21?则: )(~)( 1 2 1 2 2 2nX ni i????????).(~: 21 221nnXX???则),(~ ),(~ 2 221 21nXnX??这个性质叫分布的可加性. 2?分布的性质 2? 2) 设且X 1, X 2相互独立, 数理统计 E(??)=n, D(??)=2 n. 2 2 2 ) ~ ( ), , n ? ?? 3若分布的数学期望与方差 2 ~ (0,1), ( ) ( ) 1 ? i i i X N E X D X ? ?? 213 )]([)()( 2242????? )()(,)()( 1 221 22nXDDnXEE ni i ni i?????????? 4) 若近似正态分布 N (0,1). (应用中心极限定理可得) , ),(~ 2 充分大时则当 nnX?的分布 n nX2 ?数理统计 2 5)?分布的分位点:?? 2 2 2 ( ) ( ) ( ) n P n f y dy ???? ? ???? ? ?? 0 1, ? ?? ?对于给定的正数,称满足条件: 2 2 ( ) ( ) . n n ?? ? ?的点为分布的上分位点)( 2n ??? 2 2 ( ) : (25) . n ?? ??如图所示,可通过查表求,例数理统计 t(n)分布的概率密度函数为: ?? 1 / 2 2 [( 1) 2] ( ) 1 , ( 2) n n t h t t n n n ?? ?? ?? ?? ??????? ??? ?定义: 设X~N (0, 1), Y~???n?, 且X与Y相互独立, 则称变量: nY XT?所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 2. t 分布(t-distribution) ~ ( ). T t n 记为: t分布又称为学生氏分布. 数理统计 Probability density function Cumulative distribution function 数理统计分布的性质: t 1) ~ ( ), ( ) 0, ( ) ( 2) ( 2). n t T t n E T D T n n n ? ???具有自由度为的分布其数学期望与方差为: 22 2) 0 . ,1 lim ( ) . 2 t n t t n h t e ?????? ?分布的密度函数关于对称当充分大时其图形近似于标准正态分布概率密度的图形, 再由函数的性质有: (0,1). ~ n T N 近似即:当足够大时, 数理统计( ) ( ) . t n t n ??的点为分布的上