《数学分析》习题 第八章 函数.doc

第八章函数
§1 泰勒公式
写出下列函数在的带佩亚诺余项的泰勒展开式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
2. 写出下列函数在的泰勒公式至所指的阶数:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
3. 求下列函数在的泰勒展开式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
4. 确定常数,,使时,
(1) 为的5阶无穷小;
(2) 为的3阶无穷小;
5. 利用泰勒公式求极限:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
6. 设在原点的邻域二次可导,且
(1) ;
(2) ;
7. 设在实轴上任意次可导,令,求证:
.
8. 设为一n次多项式,
(1) 皆为正数,证明在上无根;
(2) 正负号相间,证明在上无根;
9. 求证:
(1) ;
(2) e是无理数;
10. 设在上有二阶导数,且,则存在,使
11. 设在a点附近二次可导,且,由微分中值定理:
求证:
12. 证明:若函数在区间上恒有,则在内任意两点,都有
.
§2 微积分在几何与物理中的应用
1,求下列各曲线所围成的图形面积:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
:
(1) 双纽线
(2) 三叶玫瑰线
(3) 蚌线
:
(1)
(2) 摆线及轴;
(3) 圆的渐开线,及半直线,其中.
(小的一块)和
B(的一块),之值.
5,求和所围的公共部分的面积.
6,求下列旋转体的体积:
椭圆绕轴;
(2)
(i)绕轴, (ii)绕轴;
(3) 旋轮线
(i)绕轴, (ii)绕轴, (iii)绕直线
(4) 双曲线与直线所围的图形绕轴旋转,
:
(1)求截锥体的体积,其上,下底皆为椭圆,椭圆的轴长分别等于A,B和
a,b,而高为h;
(2)正圆台:其上下底分别是半径为a、b的圆,而其间的距离为h.
,试求高为h的球冠体积(h≤R).
9-求下列曲线的弧长:
(1)
(2)
(3)
(4) 星形线
(5) 圆的渐开线
(6)
(7) 心脏线
:
(1) 在点(2,2);
(2) 在点(1,0).
:
(1) 抛物线
(2) 双曲线
(3) 星形线
:
(1) 旋轮线
(2) 椭圆
(3) 圆的渐开线
:
(1) 心脏线
双纽线
(3) 对数螺线
,且二阶可导,证明它在点处
曲率为
.
.
.