一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法
摘要:本文用级数做比较标准,得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法,笔者称之为“对数判别法”。
关键词:比较判别法级数判别法的极限形式拉格朗日中值定理对数判别法
目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法,然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数做比较标准,得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。
我们先看级数的敛散性:当时级数收敛;当时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明(具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》),本文不再细述。
先考虑发散的情况。由比较判别法有:设数列是正项数列,若足够大时,有
成立,则发散。
为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”:
,
由拉格朗日中值定理知,对任意,存在,使得
,
故,
要使足够大时有成立,只需
,
而显然,故当时,发散。
收敛的情况可类似讨论:设数列是正项数列,若存在使得足够大时,有
成立,则收敛。
因为
,
由拉格朗日中值定理知,对任意,存在,使得
,
故,
要使足够大时有成立,只需
,
若,取,就有
,
故当时,收敛。
综合上述,得到下面的定理
定理(“对数判别法”):设正项级数满足:
,
则(1)当s>1时,收敛
(2)当s<1时,发散
参考文献:
《数学分析简明教程》,邓东皋、尹小玲编著,高等教育出版社,1999年6月
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