第一节二次型及其标准型和合同矩阵
第1页，本讲稿共12页
一、二次型及其标准形的概念
称为二次型.
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只含有平方项的二次型
称为二次型的标准形．
例如
都为二次型；
为二次型的标准形.
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一、二次型及其标准形的概念
称为二次型.
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只含有平方项的二次型
称为二次型的标准形．
例如
都为二次型；
为二次型的标准形.
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1．用和号表示二次型
二、二次型的表示法
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2．用矩阵表示
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由此可见, 按照上述规则
任给一个二次型，可唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，可唯一确定一个二次型。
称对称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，也把 f 称为
对称矩阵 A 的二次型。
即二次型与对称矩阵之间是一一对应关系
对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
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例1 写出下列二次型的矩阵表达式
解 按
的要求不改变完全平方项，把
交叉乘积项的系数取半得：
注意 仅当A 满足
时,为二次型的矩阵表示式
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二次型
的矩阵为：
以 为矩阵的二次型为
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定义
合同矩阵有一下性质：
（1）自反性（2）对称性(3) 传递性
三、矩阵的合同
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证明
即 为对称矩阵.
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定义
等价的二次型,它们的矩阵之间是合同的;
反之,以合同的矩阵为矩阵的二次型是等价的.
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