二次型结合方案与对称矩阵结合方案之间的同构.pdf

河北师范大学硕士学位论文二次型结合方案与对称矩阵结合方案之间的同构姓名:闫辰立申请学位级别:硕士专业:基础数学指导教师:高锁刚 20040420 摘要令‰表示特征为2的有限域蜀上仇元二次型的集合, %表示局上n %与K上的两个结合方案。我们证明了揣与碥同构当且仅当(n,q)=(2,2)或(n,q)=(3,2). 关键词结合方案、同构 Abstract Let X,denote the set ofquadratic forms in n variables over a finite field e of characteristic define aclass ofthe graph which has x,as vertex set,and two vertices x and y are adjacent whenever thetype of@一y)is that F!一isn’t a distance regular graph forthe case n>3;r2一is astrongly regular graph forthe case n=≥4. Keyword:quadratic forms,strongly regular graph 2 1绪论设x为一有限集,lXl=礼,Ro,R1,?,Rd是x×x的一些子集,满足如下条件(1)Ro={(z,z)lz∈x); (2)X×X=凰u R1 u-··u Rd,RinRj=≯,(i≠』); (3)对于iE(o,l,?,d),令。R=_[(z,Y)l(可,z)∈兄),那么存在i。∈{0,l,?,d),使得2咒=Ri,; (4)对于i,』,惫∈^(o,1,···,d),设(z,Y)∈Rk,刃F么 z∈xI(z,z)∈兄,(Z,Y)∈马].I 是一个常数,它与(z,可)的选择无关,而仅与i,J,庇有关, 记作p易; 那么这样一个构形石=(X,1[R)_o≤瞪d)叫做x上的一个(非交换)(5)p乞;p‰Yi,歹; (6)i’=i,Ⅵ. ,如果疋是对称的, . 令酝=pO,,,,我们有如下一些基本关系乜=pO,,k9=1,Ixl=ko+七1+?+kd, 南=6坊砖o=6蜘碍=乜6巧一,够%=砖?, 三d p待b,慨=码磙,,∑d p泸m lm=Ot。=n墨=Op酰. 七=0 关于结合方案的概念及其基本性质参见文献[1]. 利用矩阵构作结合方案是由万哲先开始的,1965年, 他利用有限域只。上的nX礼Hermite矩阵构造了一个他一类的结合方案,并计算了n=2时的参数【11】,王仰贤[151,霍元极和祝学理[5】’霍元极和万哲先[6】以及王仰贤和马建敏【16]先后讨论了Hermite矩阵,长方矩阵, 交错矩阵以及对称矩阵的结合方案,,[3J讨论了二次型的结合方案,通过定义两个二次型X和y有第i种结合关系,如果rank(x—Y)=2i一1或2i,,[7】讨论了特征2的有限域FD上二次型关于‘类型’定义结合关系的结合方案,并且计算了q=2时的参数痂叫扑王仰贤等人利用矩阵方法讨论了一般q时这个结合方案的参数计算. 令-)厶表示特征为2的有限域R上n元二次型的集合,K 表示R上n×.‰上的关于‘类型’定义的结合方案,.坛是定义在K上的对称矩阵结合方案。我们证明了%与碥同构当且仅当(礼,q)= (2,2)或(n,q)=(3,2). 2二次型结合方案和对称矩阵结合方案令日表示q个元素的有限域,这里口是2的一个方幂,n芝2 ×n矩阵的集合,%表示日上全体n×,B(∈地)关于%同余,如果A~B∈%,这时-i5)OA兰B(mod%).%关于K。『A].熟知,B上n元二次型∑igaijxixj与[A]一一对应,这里A= (n订)(o巧=0,i>J).T∈Gk(B)引起二次型的变形对应于矩阵类[A]的‘同步’变形[姒T’】,. 0I;’。。。一。。,),(。‘;’。。。。一。。一。,),(。7i’n:。。。一。。一。,) 这里。是日的不属于N的一个固定元,N=fz2+x]x∈届). 上述三种矩阵统一说成是(2Ⅳ+占,L,)型的,这里6= 0,∥+占.(2u,∥