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二节相似矩阵
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一、相似矩阵的概念和性质

设A,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得
()
则称矩阵A与B相似，记作
“相似”是矩阵间的一种关系，它具有如下性质：
(二节相似矩阵
第1页，本讲稿共20页
一、相似矩阵的概念和性质

设A,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得
()
则称矩阵A与B相似，记作
“相似”是矩阵间的一种关系，它具有如下性质：
(1) 反身性：对任意方阵A,都有 。
因为
(2) 对称性：若 ，则 。
因
(3) 传递性：若 ，则
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相似矩阵的特征值相同。
相似矩阵具有如下重要性质：
性质1
性质2
若 ，且A可逆，则B也可逆，且
性质3
若 ，则 ，其中m是正整数。
性质4
性质6
性质5
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵的秩相等。
相似矩阵的迹相等。
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例2
已知矩阵
如果A与B相似，求x, y的值。
解法1
因为 ，
所以A, B有相同的行列式和迹。
于是tr (A)=tr (B),
即
①
又
可得
解得
代入①得
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解法2
相似矩阵 有相当的特征多项式。
由 有
即
计算两个行列式，得到
比较等式两边 同次幂的系数，得
解得
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二、矩阵可相似对角化的条件
如果矩阵A可以与一个对角矩阵相似，则称矩阵A可相似对
角化(可对角化)。

n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线
性无关的特征向量。
推论
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A可与对角矩
阵相似。
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例3
，我们已经求得矩阵
的特征值
对应的线性无关的特征向量为
而特征值 对应的特征向量为
且 线性无关。
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令
则
例4
设矩阵
判断A是否可对角化？
解
矩阵A的特征多项式
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(第2、3列加到第1列上)
由此得A的特征值
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对于特征值
解齐次线性方程组
得A的对应于 的一个特征向量
对于特征值
解齐次线性方程组
可得其基础解系
由于2是A的二重特征值，对应于 的特征向量
仅有一个。
对于矩阵A，不能求出三个线性无关的特征向量，
因此A不能相似对角化。
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n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每
一个 重特征值 特征矩阵 的秩为
例5
判断下列矩阵A是否相似于对角矩阵 ，
如能，则求出P，使
解
由于
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可得A的特征值为 (三重)。
对于 ，齐次线性方程组 的系数矩阵
因此A不可相似对角化。
可以看出：
所以齐次线性方程组 的基础解系含有
2个线性无关的向量。
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(2) A的特征多项式
因此，A 的特征值为 (二重)，
对于 解齐次线性方程组
可求得其基础解系为
对于 解齐次线性方程组
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可求得基础解系为
由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化。
令
则
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例6
设
试问A是否可与对角矩阵相似，并求
解
A的特征多项式
所以A的特征值为 (二重)。
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对于 ，解齐次线性方程组
可得基础解系
对于 ，解齐次线性方程组
可得基础解系
由于A有三个线性无关的特征向量，故A可与对角矩阵相似。
令
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则
所以
由此得
易求
因此
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例7
设矩阵 的特征方程有一个一个二重根，