高中数学不等式知识点.doc

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不等式
知识点归纳:
一、不等式的将在数学归纳法中专门研究。
例1a，b∈R，且a+b=1。
求证：。
证法一：〔比拟法〕
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即〔当且仅当时，取等号〕。
证法二：〔分析法〕
因为显然成立，所以原不等式成立。
点评：分析法是根本的数学方法，使用时，要保证"后一步〞是"前一步〞的充分条件。
证法三：〔综合法〕由上分析法逆推获证〔略〕。
证法四：〔反证法〕假设，
则 。
由a+b=1，得，于是有
所以，
这与矛盾。
所以。
证法五：〔放缩法〕∵
∴左边＝
＝右边。
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用根本不等式。
证法六：〔均值换元法〕∵，
所以可设，，
∴左边＝
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＝右边
当且仅当t=0时，等号成立。
点评：形如a+b=1构造式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：〔利用一元二次方程根的判别式法〕
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即。
故。
例2 ，求证：。
证：，同样地，利用均值不等式，我们可以得到
，即。
例3 ,求证。
证：
例4 ，求的最大值。
解：由题可得当且仅当即时等式成立。
同理，可得；
故而可知其最大值为6.
例5 ，求证
证：令，且，于是
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。
例6 是正整数，求证：
证：当时，有
于是
小结：
1、掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面。如与数列的结合，与"二次曲线〞的结合，与"三角函数〞的结合，与"一元二次方程，一元二次不等式、二次函数〞这"三个二次〞间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点。
2、在不等式证明中还要注意数学方法，如比拟法〔包括比差和比商〕、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等。
3、比拟法是证明不等式最常用最根本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比拟法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比拟法，即欲证
4、根本思想、根本方法：
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的根本方法。
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法。
⑶"分析法〞证明不等式就是"执果索因〞，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用"
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〞来表达 分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：假设从正面考虑问题比拟难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯。
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进展变换转化，得到一个较易证明的不等式。
⑷但凡"至少〞、"唯一〞或含有否认词的命题适宜用反证法。
⑸换元法〔主要指三角代换法〕多用于条件不等式的证明，此法假设运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题。
⑹含有两上字母的不等式，假设可化成一边为零，而另一边是关于*字母的二次式时