高中数学基本不等式知识点归纳及练习题.doc

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高中数学根本不等式的巧用
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技巧二：凑系数
例1. 当时，求的最大值。
技巧三： 别离
例3. 求的值域。
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技巧四：换元
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。
练习．求以下函数的最小值，并求取得最小值时，*的值.
〔1〕〔2〕 (3)
2．，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.
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条件求最值
，则的最小值是.
变式：假设，*,y的值
技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
2：，且，求的最小值。
变式： 〔1〕假设且，求的最小值
(2)且，求的最小值
技巧七、*，y为正实数，且* 2＋＝1，求*的最大值.
技巧八：a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
技巧九、取平方
5、*，y为正实数，3*＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
应用二：利用根本不等式证明不等式
1．为两两不相等的实数，求证：
1〕正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：a、b、c，且。求证：
应用三：根本不等式与恒成立问题
例：且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。
应用四：均值定理在比拟大小中的应用：
例：假设，则的大小关系是.
解：〔1〕y＝3*2＋≥2＝∴值域为[，+∞〕
〔2〕当*＞0时，y＝*＋≥2＝2；
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当*＜0时， y＝*＋= －〔－*－〕≤－2=－2
∴值域为〔－∞，－2]∪[2，+∞〕
解：因，所以首先要"调整〞符号，又不是常数，所以对要进展拆、凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
解析：由知，，利用根本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当，即*＝2时取等号 当*＝2时，的最大值为8。
评注：此题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用根本不等式求最大值。
解析一：此题看似无法运用根本不等式，不妨将分子配方凑出含有〔*＋1〕的项，再将其别离。
当,即时,〔当且仅当*＝1时取"＝〞号〕
解析二：此题看似无法运用根本不等式，可先换元，令t=*＋1，化简原式在别离求最值。
当,即t=时,〔当t=2即*＝1时取"＝〞号〕。
评注：分式函数求