矩阵地等价,规定合同,相似地联系与区别.doc

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目 录
摘要I
引言1
1矩阵间的三种关系1
矩阵的等价关系1
矩阵的合同关系2
. 矩阵的相似关系2
2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系3
3矩矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域上的阶矩阵,
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性质2
（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.
（2）对称性：如果与合同，那么也与合同.
（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理3复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
. 矩阵的相似关系
定义3 设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使得,则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件
(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵
(2) 在数域上阶可逆矩阵，使得
性质3
(1)反身性 ;
(2)对称性 由即得;
（3）传递性 和即得
总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
(4) （其中是任意常数）；
(5）；
(6）若与相似，则与相似（为正整数）；
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么.
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
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(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设，若可逆，则从而与相似.
若不可逆，则不可逆，即也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
定理4 相似矩阵的特征值相同.
推论3相似矩阵有相同的迹.
2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系
（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系
定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．
证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价
反过来，对于矩阵,等价，但是与并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理 6 对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(即与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似．
证明：设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知,若记,那么,也即,则矩阵也相似．
定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
证明： 设阶方阵合同，由定义2有，存在阶可逆矩阵，使得，若记,,则有因此由定义1得到阶方阵等价
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反过来对于矩阵,等价，但是与并不合同，即等价矩阵未必合同．
定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．
证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，则有，即与合同.
同理，若存在一个正交矩阵，即使