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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第二节 函数的性质
第三节 洛必达法则
第二节 函数的性质


本节主要内容:



[0,+ ),有f(x)>f(0)，即不等式成立.
例7 证明：
令
则
证明
o
x
y
y= ƒ(x)
M
m
a
b
设函数 y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图:
在1处的函数值f(1) 比它附近各点的函数值都要小;
而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念.
二、函数的极值
设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有定义， ，都有
（1）f(x)<f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；
（2）f(x)>f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值．
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．
注： 1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；
2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；
3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。
f(x)的极小值点:
f(x)的极大值点:
（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点 x0处取得极值，那么函数 f(x)在点x0处的导数为零，即 f (x0) =0．
极值的必要条件
1、可导函数的极值点必是它的驻点.
从而有几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是
与 x 轴平行的 (罗尔定理) .
2、对可导函数来说, 驻点不一定是极值点.
即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如
o
x
y
则x =0 为 f (x) = x3 的驻点.
如图：x =0 不是f (x) = x3 的极值点.
说明：
3、对于函数y = |x| , 我们已知 x = 0 是函数的连续不
可导点. 但x = 0是函数的极小值点. 如图.
o
x
y=|x|
实际上, 连续不可导点也可能是极值点.
因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.
（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0某个空心邻域内可导（ f (x0)可以不存在），x为该邻域内任意一点，
（1）当x<x0时 f (x)>0 ，当x>x0时f (x)<0 ，则f(x0)为函数f(x)的极大值；
（2）当x<x0时 f (x)<0 ，当x>x0时f (x)>0 ，则f(x0)为函数f(x)的极小值；
（3）当x<x0与x>x0时f (x)的符号相同，则f(x0)不是函数f(x)的极值．
极值的充分条件
(是极值点情形)
(不是极值点情形)
（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，则
（1）当f (x0) <0时，函 f(x)在点x0 处取得极大值；（2）当f (x0) >0时，函 f(x)在点x0 处取得极小值．
注： 1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对驻点判定；
2、当f (x0) =0时，无法判定 f(x)在点x0处是否有极值
（1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；
（2）求出函数f(x)的导数 f (x)；求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的点；
（3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值．
求极值的方法：
例8 求函数 的极值
（3）列表
（1）函数的定义域为(-,+)；
(-,-2)
0
(-2,-4/5)
-4/5
(1,+ )
+
极大值
0
-
0
+
所以f(x)在x=0处取得极大值为0，在x=-4/5 处取得极小值为-．
（2） ,无不可导点
令f (x)=0 ，得
0
极小值
-
(-4/5，1)
+
1
0
无极值