高等数学第八章多元函数积分学 ppt课件.ppt

第八章 多元函数积分学
一 二重积分的概念及简单性质
二 二重积分的计算
第一节 二重积分的概念与性质
一、问题的提出
二、二重积分的概念
三、二重积分的性质
四、小结
精品资料
你怎么称呼老师？
如果.
利用直角坐标系计算二重积分
［X－型］
X 型区域的特点：
穿过区域且平行于
y 轴的直线与区域
边界相交不多于
两个交点.
积分区域为：
［X－型］
一般地，
--- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
如果积分区域为：
［Y－型］
--- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分
1. 若D既是 x—型区域, 又是 y—型区域.
比如
x
0
y
x
0
y
x
0
y
当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.
则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分.
等等,
此时,
2.
（1）如果积分区域是矩形
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，
则
设D：a  x  b, c  y  d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
则
y
x
0
d
c
a
b
比如，
若区域如图，
在分割后的三个区域上分别使
用积分公式
则必须分割.
3.
例1 将
化为二次积分。
其中 D 由直线
围成。
解 1：
先画出积分区域 D 。
D 是 Y－型。
于是，
解 2：
于是，
例2 计算
其中 D 由直线
围成。
解
先画出积分区域 D 。
D 是 X－型。
于是，
于是，
例3
解
积分区域为
于是，
解
设
则
于是，
设
解
解
例9. 求
解：由于
是“积不出”的，怎么办？
要改换积分次序.
先画积分区域D的图形.
由积分表达式知，D： y  x  1, 0  y  1
画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1.
如图：
故 原式 =
y
x
0
D
y = x
由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。
1.
x
y
0
y=x
y=x2
x
解: 先画区域D的图形.
法1. 先对y积分.
x
y
0
y=x
y=x2
1
1
法2. 先对 x 积分.
y
2.
解: 先画D的图形.
先对 x 积分.
x
y
0
y=x+2
y=x2
1
1
2
所以, 原式 =
问, 若先对 y 积分, 情形怎样?
x
y
0
y=x+2
y=x2
1
1
2
3. 改换
解：写出D的表达式，
画 D 的图形
改为先对x再对y的积分
y
x
0
D
2
4
第二节 二重积分的计算（2）
一、利用极坐标系计算二重积分
二、小结
一、利用极坐标系计算二重积分
面积元素
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
D：
区域特征如图
D：
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
D：
极坐标系下区域的面积
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
例1 将
化为在极坐标系下的二次积分。
1）
4）
2）
3）
1）
解
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
2）
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
2）
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
3）
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
3）
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
4）
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
4）
在极坐标系中，闭区域
D 可表示为
解
解
例4. 求
其中D：x2+y2  1
解：一般, 若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用　　极坐标积分。
0
x
y
x2+y2  1
令x=rcos, y=rsin, 则
x2+y2  1的极坐标方程为r = 1.
由(2)
D*: 0  r  1, 0    2
另由几何意义：
解
二重积分在极坐标下的计算公式
二、小结
5 利用极坐标计算二重积分
D：由 所围成区域（第一象限部分）
第三节 二重积分的应用
一、立体的体积
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
例1 计算由曲面
及 xoy 面所围的立体