几何证明地好方法——截长补短.doc

word
word
2 / 20
word
几何证明的好方法——截长补短
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最rd
word
5 / 20
word
EF=BE+FC
延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。
由ABC是正三角形得
ABC=ACB=60
又DB=DC，BDC=120
所以DBC=DCB=30
DBE=ABC+DBC=60+30=90
ACD=ACB+DCB=60+30=90
所以GCD=180-ACD=90
DBE=DCG=90
又DB=DC，BE=CG
所以DBEDCG（SAS）
EDB=GDC
DE=DG
又DBC=120=EDB+EDC
=GDC+EDC=EDG
所以GDF=EDG-EDF
=120-60=60
GDF=EDF=60
又DG=DE
DF=DF
所以GDFEDF（SAS）
EF=GF=CG+FC=BE+FC
变形d解：（简单思路）
延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
（1）所证，
ADGABF，EAGEAF
GAD=FAB=30，SEAG=SEAF
在RtADG中，GAD=30，AD=
word
word
6 / 20
word
AGD=60，AG=2
设EH=x
在RtEGH中和RtEHA中
AGD=60，HAE=45
HG=x，AH=x
AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-
SEAF=SEAG=EHAG2=3-.
（第5页题目答案见第6页）
（2）
正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。
求证：AC/2=AD-EO
（2）加强版
正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。
请问MN、AD、EF有什么数量关系？
（2）解：（简单思路）
过E作EGAD于G
因为四边形ABCD是正方形
ADC=90，BD平分ADC，ACBD
所以ADB=ADC/2=45
因为AE平分DAC，EOAC，EGAD
所以EAO=EAG，
DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，
所以AEOAEG（AAS）
所以AG=AO，EO=EG
又ADB=45，DGE=90
所以DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
word
word
7 / 20
word
（2）加强版解：（简单思路）
MN/2=AD-EF
过E作EGAD于G，作EQAB于Q，
过B做BPMN于P
按照（2）的解法，可求证，
GNEFNE（AAS）
DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD-EF，
因为四边形ABCD为正方形，
ABC=GAQ=BCM=90
BD平分ABC，BC=BA
ABD=ABC/2=45，又EQB=90
EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45
因为GAQ=EGA=EQA=90
所以四边形AGEQ为矩形，
EQ=AG=AD-EF，EQ//AG
QEN=ENG
又ENG=ENF，所以QEN=ENF
由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，
所以BCMBAN（SAS）
BM=BN，CBM=ABN
ABC=90=ABM+CBM
=ABM+ABN=MBN，又BM=BN
所以MBN为等腰Rt三角形，
又BP斜边MN于P，
所以NPB为等腰Rt三角形。
BP=MN/2，PNB=45。
BNE=ENF+PNB
BEN=QEN+QEB
又QEN=ENF，PNB=QEB=45
所以BNE=BEN
BN=BE，
word
word
9 / 20
word
又PNB=QEB=45=NBP=EBQ
所以BEQBNP（SAS）
EQ=BP
因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2
所以AD-EF=MN/2。
综合题体中的截长补短
1、如图，在⊙O中，C是的中点，直线CD⊥AB于点E，AB＝BE，PB、PA组成的⊙O的一条折弦，C是劣弧的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB，请证明你的结论。
分析：本题要证明AE＝PE+PB，可以将AE分为两段，使其中一段长度等于PE，然后另一段长度关于PB。反之亦。证明△AHC≌△BPC。然后再证明PB＝PE，那么AE＝PE+PB。
证明：在AE上截取AH＝PB，连接AC、CH、BC、CP。
∵ C是的中点
∴＝