审敛法 ppt课件.ppt

二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
第二节
一、正项级数及其审敛法
常数项级数的审敛法
审敛法
一、正项级数及其审敛法
若
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
若
收敛 ,
∴部分和二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
第二节
一、正项级数及其审敛法
常数项级数的审敛法
审敛法
一、正项级数及其审敛法
若
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
若
收敛 ,
∴部分和数列
有界,
故
从而
又已知
故有界.
则称
为正项级数 .
单调递增,
收敛 ,
也收敛.
证: “ ”
“ ”
审敛法
精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？
教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
都有
定理2 (比较审敛法)
设
且存在
对一切
有
(1) 若强级数
则弱级数
(2) 若弱级数
则强级数
证:
设对一切
则有
收敛 ,
也收敛 ;
发散 ,
也发散 .
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
是两个正项级数,
(常数 k > 0 ),
因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,
故不妨
审敛法
(1) 若强级数
则有
因此对一切
有
由定理 1 可知,
则有
(2) 若弱级数
因此
这说明强级数
也发散 .
也收敛 .
发散,
收敛,
弱级数
审敛法
例1. 讨论 p 级数
(常数 p > 0)
的敛散性.
解: 1) 若
因为对一切
而调和级数
由比较审敛法可知 p 级数
发散 .
发散 ,
审敛法
因为当
故
考虑强级数
的部分和
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
时,
2) 若
审敛法
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在
对一切
审敛法
证明级数
发散 .
证: 因为
而级数
发散
根据比较审敛法可知,
所给级数发散 .
例2.
审敛法
定理3. (比较审敛法的极限形式)
则有
两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
证: 据极限定义,
设两正项级数
满足
(1) 当 0 < l <∞ 时,
审敛法
由定理 2 可知
同时收敛或同时发散 ;
(3) 当l = ∞时,
即
由定理2可知, 若
发散 ,
(1) 当0 < l <∞时,
(2) 当l = 0时,
由定理2 知
收敛 ,
若
审敛法
是两个正项级数,
(1) 当 时,
两个级数同时收敛或发散 ;
特别取
可得如下结论 :
对正项级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
审敛法
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
解:
根据比较审敛法的极限形式知
～
审敛法
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当
(2) 当
证: (1)
收敛 ,
时, 级数收敛 ;
或
时, 级数发散 .
由比较审敛法可知
审敛法
因此
所以级数发散.
时
(2) 当
说明: 当
时,级数可能收敛也可能发散.
例如, p – 级数
但
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
审敛法
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
审敛法
对任意给定的正数 
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
数, 且
审敛法
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
说明 :
但
级数收敛 ;
级数发散 .
审敛法
例6. 证明级数
收敛于S ,
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
由定理5可知该级数收敛 .
令
则所求误差为
并估计以部分和 Sn 近
审敛法
二 、交错级数及其审敛法
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 .
定理