高中数列知识点、解题方法和题型大全.doc

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一高中数列知识点总结
1. 等差数列的定义与性质
定义：（为常数），
等差中项：成等差数列
前项和
性质：是等差数列
（1）若，则
（2）数列仍为等差数列，仍为等差求和公式：
2、等比数列求和公式：
例1设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得解得．
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设数列的公比为，由，可得．
又，可知，即，
解得．由题意得．
．故数列的通项为．
（2）由于由（1）得
， 又
是等差数列．
故．
练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴＝
＝＝
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∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法
设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。
例2（07高考理21）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅰ）解：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设，　　　①
②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且
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，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．
所以，
．
（Ⅱ）．
，①
，②
②－①得，
．
三、逆序相加法
把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）
例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若
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,且点P的横坐标为.
（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（II）若
（III）略
（I）∵,且点P的横坐标为.
∴P是的中点，且
由（I）知，
，（1）+（2）得：
四、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
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（3）等。
例5 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
例6（06高考卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
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评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考虑则=。下列求和： 也可用裂项求和法。
五、分组求和法
所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满 .
（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。
解析：（Ⅰ）由，
两式相减得：，
同定义知是首项为1，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）
等式左、右两边分别相加得：
=
　例8求（）
解：⑴　当为偶数时，