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线性代数讲方阵逆阵
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《线性代数与空间解析几何》
哈工大数学系代数与几何教研室
王宝玲

第二章 矩阵
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本章的主要内容
矩阵的概念及运算
,
!
例4
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 总结一下矩阵乘法的一些反常性质:
未必满足交换律:
未必满足消去律:
可能有零因子:
 如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换.
 学习矩阵理论,要注意反常性质!
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方阵的幂
AA有意义当且仅当A为方阵.
对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:
因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于
同阶方阵A与 B, 一般
运算性质:
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矩阵多项式
仍是方阵.
设
为A的矩阵多项式，
A是n阶方阵，则称
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由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成
的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即
方阵的行列式及乘法公式
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(行列式乘法公式)
运算性质():
设A, B, 为 n 阶方阵, k 为数, 则有
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例1 设
求
解
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定义
称为A的转置矩阵.
矩阵的转置
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运算性质
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特殊矩阵
对称矩阵: AT =A
反对称矩阵: AT = - A
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问题:
2. 矩阵与行列式有什么区别?
3. 设 A, B Mn, |AB|=|BA| ?
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逆矩阵
问题
A应当满足什么条件?
如何定义A-1 ?
通过对Cramer法则的分析来给出答案.
想法
在解方程 ax=b 的时候,如果 a  0, 等
式两边同乘以 a-1, 得 x=a-1b .
线性方程组 AX=b, 能否在一定条件下引
进 A-1 的概念,使得解为 X = A-1b ?
由a-1 a=1到 A-1A= E.
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定义 A为n阶方阵, 若存在n阶方阵B, 使
AB = BA = E
则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵.
记作B = A-1.
逆矩阵的定义
注 定义中矩阵 A 与矩阵B的地位是相
同的,如果 A可逆,且B是 A的逆,则B
也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.
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问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,
哪些是不可逆阵 ?
1. E-1=
E
2. 当 k1k2…kn≠0 时,有:
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性质
若矩阵A可逆,则A的逆矩阵唯一.
证
设B, C都是矩阵A的逆矩阵,则有
 下面根据定义给出逆矩阵的几个性质.
 若 A, B 均为n 阶矩阵,且 AB = E , 则
BA = E , 即A与B 互为逆矩阵.
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可推广至有限个积
可逆阵还具有如下性质: A,B 可逆
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 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵?
 如何求一个可逆矩阵的逆矩阵?
复习行列式的展开性质
若A, B可逆,而A+B 不一定可逆，
即使可逆
即乘法的消去律成立.
可以推出

当A可逆时,由
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伴随矩阵: A为n 阶方阵
可逆的条件
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称
为矩阵A的伴随矩阵.
A* 是用方阵A的元素的代数余子式
组成的矩阵.
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A A﹡= A﹡A =｜A｜E
｜A｜≠０
A(　　A﹡)=( A﹡)A =E
(基本公式)
A为n阶方阵
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设 A 为数域 F 上 n 阶方阵,则
1. A 可逆
｜A｜≠0
2. A 可逆时, A-1=
定理
从而 |A| .
证
若A可逆,则
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故矩阵A可逆,且
 在|A|