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行列式计算方法
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摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了 计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了利用降阶定理，幂级数变换，换元等B与C分 别为n×m阵与m×n阵，则
证明：设
,由定理2
故，
。
6. 用幂级数变换计算行列式
把一类n阶行列式转化为差分方程，再利用幂级数变换求解差分方程，即可求出行列式的值.
任给一个数列
,则可相应地作出一个幂级数
,将
叫做数列

数
唯一确定数列
数列与幂级数有对应关系.
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.
，把行列式转化为差分方程，引入幂级数变换，通过幂级数的分析运算可求出行列式的值.

解： 将按第1列展开得：
① 此行列式序列是斐波那契数列，开始项为1,2，以后各项均为前两项之和.①式变形为，
设 ②
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用-x乘②式得: ③
用 乘②式得: ④
②+③+④，得:
又 所以
方程 的两根为： 且有
=
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⑤
比较②式与⑤式的系数，得
7. 用换元法计算行列式:此法应用于当以同一个数改变行列式的所有元素时，其各元素的代数余子式容易计算的情形，它基于下面的定理.
定理4 设
则 其中 是元素 的代数余子式.
=
=
=
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例2 计算行列式

解：把 的所有元素都加上-x，得
D的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，所以
8. 用拉普拉斯定理计算行列式
定理5 在行列式D中任选k行（或k列），由这k行（或k列）元素组成的一切k阶子式（共可组成 个k阶子式）与它的代数余子式的乘积之和等于行列式D.
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例3 计算
解：将 按第n, n+1行展开，则
继续依上法展开，直到推出 可得
9. 用数学归纳法计算行列式：数学归纳法一般是在已知行列式的结果，或猜出其结果作出严格证明时用的方法.
(论文中附有例12)
10 用逐行（或列）相加减法计算行列式：此法适合这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上，用此法可化出许多零元素来.
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分析：构成本行列式的特点是：第i行元素
即相邻两行的对应元素或差为零或差为1，只有一个元素差为1-.
解：从第2行起，每一行的（-1）倍都加到上一行上，有

每相邻两列之间有许多相同元素(1或0)，且最后一行有(n-1)
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个元素都是x,因此可再用相邻两列逐列相减的方法：从第(n-1)列起，每一列的(-1)倍加到后一列上.
(按第1列展开)
注：对于本题第一次所作的变换逐行相减的结果，第二次作了逐列相减变换，得出的行列式，再按第一列展开后，成了两个n-