数列的通项公式与求和的常用方法.doc

题目 高中数学复习专题讲座数列的通项公式和求和的常用方法
高考要求
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而方法 (1)问中项和和的关系为常规方法,（2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;（3）问中挖掘出n和r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解 （精品文档请下载）
解 （1)由An=(an－1）,可知An+1=(an+1－1），
∴an+1－an= (an+1－an），即=3,而a1=A1= (a1－1），得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{
an｝的通项公式an=3n （精品文档请下载）
(2)∵32n+1=3·32n=3·（4－1)2n
=3·［42n+C·42n－1（－1）+…+C·4·（－1）+（－1)2n]=4n+3，
∴32n+1∈｛bn}
而数32n=(4－1）2n
=42n+C·42n－1·（－1）+…+C·4·（－1）+（－1）2n=（4k+1），
∴32n｛bn}，而数列｛an}=｛a2n+1｝∪{a2n｝，∴dn=32n+1
(3)由32n+1=4·r+3，可知r=，
∴Br=,
例3　设｛an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an和2的等差中项等于
Sn和2的等比中项 （精品文档请下载）
(1)写出数列｛an｝的前3项
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
（3）令bn=(n∈N*)，求 （b1+b2+b3+…+bn－n)
解析 （1）由题意，当n=1时，有，S1=a1，
∴，解得a1=2 当n=2时,有,S2=a1+a2，将a1=2代入,整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6 （精品文档请下载）
当n=3时，有,S3=a1+a2+a3，
将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0,解得a3=10
故该数列的前3项为2，6,10
（2）解法一 由(1）猜测数列{an} 有通项公式an=4n－2
下面用数学归纳法证明｛an}的通项公式是an=4n－2，（n∈N*）
①当n=1时，因为4×1－2=2，,又在（1）中已求出a1=2，所以上述结论成立
②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k－2 代入上式，解得2k=，得Sk=2k2,（精品文档请下载）
由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1,
将Sk=2k2代入得(）2=2（ak+1+2k2），
整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0,解得ak+1=2+4k，
所以ak+1=2+4k=4（k+1）－2，
即当n=k+1时，上述结论成立
根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N*成立
解法二 由题意知,（n∈N*) 整理得，Sn=(an+2)2,
由此得Sn+1=（an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn=［(an+1+2)2－(an+2）2] （精品文档请下载）
整理得（an+1+an）（an+1－an－4)=0，
由题意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，
即数列｛an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4
∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1），即通项公式为an=4n－2
解法三 由得,(n∈N＊)　　　　　①，
所以有　　　　　　　　　　　　②，
由②式得，
整理得Sn+1－2·+2－Sn=0，
解得，
由于数列{an｝为正项数列,而，
因此，
即{Sn｝是以为首项，以为公差的等差数列
所以= +(n－1） =n,Sn=2n2，
故an=即an=4n－2（n∈N＊）
(3）令cn=bn－1,那么cn=
学生稳固练习
1 设zn=(）n，（n∈N＊)，记Sn=|z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜,那么Sn=_________ （精品文档请下载）
2 作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________ （精品文档请下载）
3 数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N＊都有an＞0，且（n+1)an2+an·an+1－nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1 （精品文档请下载）
(1）求数列｛an}的通项an及它的前n项和Sn；
(2）求数列{bn