第四章 根轨迹分析法
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第四章 根轨迹法分析
概述
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹在系统分析中的应用
广义根轨迹
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概三 实轴上的根轨迹
0
jω
σ
图 某系统零极点分布图
p1
p2
p3
p4
z1
s1
θ2
θ1
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法则四 根轨迹的渐进线
当K* → ∞时,有(n-m)条根轨迹分支沿着渐进线趋于无穷远处。渐进线与实轴的交点坐标和与实轴正方向的夹角分别为:
证明从略。
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法则五 根轨迹的分离点
几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点(或会合点,为了简化可统称为分离点)。分离点的可能之处可由下列微分方程解出:
(极值法)
或分离点的坐标d可由如下方程解出:
(试探法)
如果求得的解满足特征方程或相角条件,则可判定其为分离点。
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绘制根轨迹的基本法则
法则五 根轨迹的分离点
确定根轨迹几个分支的分离点,实质上是求闭环特征方程式的几重根。
将特征方程写成
在重根处应满足
将K*表示成复变量s的函数
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绘制根轨迹的基本法则
例 已知系统的开环传递函数
试绘制系统的概略根轨迹。
解:开环极点p1=0, p2=-1, p3=-2;无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞,-2], [-1,0]。
渐进线 n=3,m=0,有三条渐进线。
交点
相角
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绘制根轨迹的基本法则
解得
分离点
-3
-2
1
0
-1
0
-1
-2
1
2
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法则六 根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)
起始角:根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴之间的夹角称为起始角。
终止角:根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴之间的夹角称为终止角。
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绘制根轨迹的基本法则
法则六 根轨迹的出射角(起始角)和入射角(终止角)
在pl附近的根轨迹上取一点s1,则s1满足根轨迹的相角条件,即
过pl和s1作割线,则割线与正实轴之间的夹角为
s1 → pl时,∠(s1-pl) → θpl,则
0
jω
σ
图 根轨迹起始角
p1
pl
p3
z1
s1
θpl
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法则七 根轨迹的分离角与会合角
法则七 根轨迹离开(进入)重极点处的分离角(会合角)按等角性原则来确定,即分离点处分离与会合的根轨迹各个分支之间的夹角等于180o/l, l为分离或会合的根轨迹条数。
方法一:特征方程分解法。
将s=jω代入特征方程
解得交点与临界增益值。
方法二:劳斯判据法。令劳斯表出现全零行,但第一列符号不变。这时系统处于临界稳定状态。所求出的纯虚根位于根轨迹与虚轴的交点上。
法则八 根轨迹与虚轴的交点及临界增益值
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法则九 闭环极点的和
开环传递函数
当n>m时
式中si为闭环极点。
当n-m≥2时,系统的闭环极点之和等于开环极点之和,且为常数。即
当K*变化时,在s平面上一部分根轨迹向左移动,则另一部分根轨迹必然向右移动。
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绘制根轨迹的基本法则
例 4-9 已知系统的开环传递函数
试绘制K*从 0→ ∞ 变化时系统特征方程的根轨迹。
解:开环极点: p1=0, p2=-3, p3,4=-1±j ;无开环零点;四条根轨迹分支。
实轴上的根轨迹 [-3,0] 。
渐进线 n=4,m=0,有三条渐进线。
交点
相角
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绘制根轨迹的基本法则
解得
那么
分离点
∠(s2-p1)+ ∠(s2-p2) +∠(s2-p3) +∠(s2-p4)
=+-+
=
由于s2不满足相角条件,故s2不是根轨迹上的点,不是分离点。
0
jω
σ
S平面
s2
p1
p2
p3
p4
-
由特征方程求得
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绘制根轨迹的基本法则
在分离点s1处各根轨迹之间的夹角为180o/2=9
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