极限计算方法总结.docx

极
线
的
运
算
法
则
班级 :
组名：
组员 :
)
xx0 g (x)
f1 ( x)
f ( x)
f1 (x)
。
f ( x) lim
，即 lim
= lim
x x0 g1( x)
xx0 g (x)
x x 0 g1 (x)
5．洛比达法则
定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 f (x) 和 g( x) 满足：
1） f (x) 和 g (x) 的极限都是 0 或都是无穷大；
2） f (x) 和 g (x) 都可导，且 g( x) 的导数不为 0；
3） lim f ( x) 存在（或是无穷大） ；
g (x)
则极限 lim
f ( x)
f ( x)
f (x)
f ( x)
也一定存在，且等于 lim
，即 lim
= lim
。
g ( x)
g (x)
g( x)
g ( x)
说明 ：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不
满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（ 1）是否满足，即验证所求极限
是否为“ 0 ”型或“ ”型；条件（ 2）一般都满足，而条件（ 3）则在求导完毕
0
后可以知道是否满足。 另外，洛比达法则可以连续使用， 但每次使用之前都需要注
意条件。
6．连续性
精选
定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 x0 是函数 f ( x) 的定义去间
内的一点，则有
lim f ( x)
f (x0 )
。
x x0
7．极限存在准则
定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。
定理 8（准则 2） 已知 { xn } , { yn } , { zn } 为三个数列，且满足：
（ 1） ynxn
zn , (n 1,2,3,
)
（2） lim yn
a ， lim zn
a
n
n
则极限 lim xn 一定存在，且极限值也是
a ，即 lim xn a 。
n
n
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例 1
lim
3x
1
2
x
1
x 1
解：原式 = lim
(
3x
1) 2
2 2
3x
3
3
lim
。
x 1 ( x 1)( 3x 1 2)
x 1 ( x 1)( 3x 1 2)
4
注：本题也可以用洛比达法则。
例 2
lim
n (
n
2
n
1)
n
n[( n
2)
(n
1)]
分子分母同除以n
3
3
解：原式 = lim
lim
。
n
n
2
n
1
n
2
1 2
1
1
n
n
例 3
lim
( 1) n
3n
2
n
3
n
n
上下同除以 3 n
(
1
)n
1
解：原式
lim
3