第四节矩阵秩与矩阵的等价标准形.ppt

第四节矩阵秩与矩阵的等价标准形
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主要内容：一、秩的定义；
四、一些重要的性质
二、秩的求法；
§ 矩阵的秩与矩阵的等价标准形
三、矩阵的等价标准形
*
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第四节矩阵秩与矩阵的等价标准形
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主要内容：一、秩的定义；
四、一些重要的性质
二、秩的求法；
§ 矩阵的秩与矩阵的等价标准形
三、矩阵的等价标准形
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一、秩的定义
例如
等等, 它们都是二阶子式.
等等, 它们都是三阶子式.
每一个元素都是一阶子式.
1、k阶子式：
说明：1）
在 矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k 阶子式.
2）
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如果矩阵Ａ中有一个不为零的ｒ阶子式，且所有ｒ＋１阶的子式（如果存在的话）全等于零, 称ｒ为A的秩, 记为r(A)＝ｒ.
例如
2、矩阵的秩：
规定:零矩阵的秩是零.
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回答下面问题：
(2) m×n 的矩阵 A , 其秩最大可能是?
r(A)≤min(m, n)
(3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是?
r(A)≥r
(4) 如果A 有一个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 有没有 r + 2 阶不为零的子式？ 如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, A 的秩最大可能是 多少?
(5) r(A) = r(AT)?
(6) A为 n 阶可逆矩阵的充要条件是 r(A) =
r(A) = r(AT)
n
(7) A = O 的充要条件是 r(A) =
0
r -1
(1) 矩阵的秩是否惟一?
当然惟一
满秩矩阵
（8）
如果
则：
没有
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初等变换不改变矩阵的秩。
秩的基本定理
二、秩的求法：
即:
则:
例1.
求下列矩阵的秩
而
解:
而４阶子式不存在
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秩的基本定理又可叙述为:
r (P m A m×n Q n ) = r (A)
(其中 P，Q 是可逆矩阵)
注：该定理回答了矩阵标准形
中 r 是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。
阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！
由以上例子说明:
于是得到求秩的方法：
则：
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例1
求矩阵 A 的秩
建议只用行变换
阶梯形不唯一
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例2
求 和
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例1

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用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形（也称相抵标准形）：
等价标准形是唯一的。
(等价标准形定理)
定理3
如果我们对矩阵
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定理4
(1)
使得:
(证明略)
推论1
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三、秩的一些重要性质
其中A为
B为
其中A和Ｂ均为
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永远是奇异矩阵(不可逆)
有可能是非奇异矩阵（可逆）
例3
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证
例4
思考：
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则
(A) t = 6 时, 必有 r(P) = 1
(B) t = 6 时, 必有 r(P) = 2
(C) t ≠ 6 时, 必有 r(P) = 1
(D) t ≠ 6 时, 必有 r(P) = 2
首先,
又
例5
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小结:
一、矩阵秩的定义
四、关于矩阵秩的一些结论
二、矩阵秩的求法
三、矩阵的等价标准形
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思考题

是可逆矩阵，
矩阵
则
无法确定
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作业:
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