第十一章布莱克舒尔斯-默顿期权定价模型.ppt

金融工程
Financial Engineering
授课人：王正文 讲 师

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第十一章 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
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量x 的普通布朗运动：


标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0，方差为1的普通布郎运动。
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三、伊藤过程与伊藤定理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到

这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
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三、伊藤过程与伊藤定理
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
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三、伊藤过程与伊藤定理
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
同普通全导数有什么区别
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三、伊藤过程与伊藤定理
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三、伊藤过程与伊藤定理

假设变量S服从
令G=lnS， 则
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三、伊藤过程与伊藤定理

假设无收益资产价格S服从
令 ,则
这说明,期货价格的漂移率比股票小r，这是因为股票投资需要现金投入，所以投资回报中包含时间报酬和风险报酬，而期货投资不需要现金投入。
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四、股票价格的变化过程：几何布朗运动
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为S2的伊藤过程（即几何布朗运动）来表示：

之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：
一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。
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四、股票价格的变化过程：几何布朗运动
，如果股票价格服从几何布朗运动，则有

从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率 和恒定的方差率 。
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四、股票价格的变化过程：几何布朗运动
由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动 时，其在任意时间长度T-t内的变化值都服从均值为 、方差为 的正态分布。也就是说，
()
因此证券价格对数服从正态分布。
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四、股票价格的变化过程：几何布朗运动
如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，我们可以得到
和
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四、股票价格的变化过程：几何布朗运动
实际上就是股票价格在T－t期间的连续复利收益率，则T－t期间年化的连续复利收益率可以表示为 ，从式（）可知随机变量 服从正态分布
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五、预期收益率 与波动率
（一）对 的理解
1、几何布朗运动中的期望收益率。
2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的。
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五、预期收益率 与波动率
（一）对 的理解
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望