高中数列试题.doc

高一数学同步测试（ 13）— 数列单元测试题
一、选择题
2
1．若 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn n , 则{ an } 是 （ ）
A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，而且｛bn｝为等比数列；
（2）求｛an｝的通项公式．
2 0．某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用 12 万元，以后每年都
增加 4 万元，每年捕鱼收益 50万元，
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：
（3）年平均获利最大时，以 26万元出售该渔船；
（4）总纯收入获利最大时，以 8万元出售该渔船．
问哪种方案合算．
2 1．已知数列 an 是等差数列，且 a1 2, a1 a2 a3 12.
（1）求数列 an 的通项公式；
n
（2）令bn a x (x R). 求数列 bn 前 n 项和的公式．
n
2 2．某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首
付3 万元，然后从第二年起连续十年， 每年付款 8000元；另一种方案是一次性付款，
优惠价为 9 万元，若一买房户有现金 9 万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资
年收 益率为 5%，他该 采用 哪种 方案 购房更合算？请说明理 由．(参考数据
9≈ ，≈)
参考答案
一、选择题： BBCAB CCDDC CD
二、填空题： ． n 1 (n 1) ．
a
n
5 (n 1)
．16、a , a , a , a , (a 0) ，r 与s 同为奇数或偶数．
6n 2 (n 2)
三、解答题：
1 7．解析：(1)由
a
4
S
10
14
185
∴
a 3d 14,
1
1
10a 10 9 9d 185,
1
2
a1 5
d 3
由an 5 (n 1) 3, an 3n 2
n
(1)设新数列为 { bn } ，由已知， 3 2 2
b
n
G
n
3(
1 2 3 n n n n
2 2 2 2 ) 2 6(2 1) 2 .
G
n
3
n
2
1 n n N
2 6,(
*)
解析：(1)
1 2 1 1
an 2( )故Sn
1 2 3 n n(n 1) n n 1
2[(1
1
2
)
(
1
2
1
3
)
(
1
n
n
1
)]
1
2n
n
1
(本题用到的方法称为“裂项法”，把通项公式化为 an= f(n＋1)－f (n)的形式)
2n 1 1 n
(2)通项 an (2n 1) ( ) .呈“等差×等比”的形式，
n
2 2
S
n
3 2(
1
2
)
n 1
2n
n
2
1
解析： (1)由 an=
1
2
an－1＋1得 an－2=
1
2
(an－1－2)
即
a
n
a
n
1
2
2
1
2
，(n≥2)
∴｛bn｝为以－1 为首项，公比为
1
2
的等比数列
(2)bn=(－1)(
1
2
n－1，即 an－2=－(
)
1
2
n－1
)
∴an=2－(
1
2
n－1
)
解析：（1）由题设知每年费用是以 12 为首项，4 为公差的等差数列，设纯收入与年数
的关系为 f n ，
2
∴ f (n) 50n 12 16 (8 4n ) 98 40n 2n 98，
2 n2 n
获利即为 f n ＞0， ∴40n 2n 98 0,即 20 49 0 ，
解之得：10 51 n 10 51, n ，
又n∈N， ∴n=3，4，⋯，17， ∴当 n=3 时即第 3 年开始获利；
f (n) 49
（1）(i)年平均收入 = )
40 2(n
n n
∵
n
49
n
49
≥2 n 14 ，当且仅当 n=7 时取“ =”，
n
∴
f (n)
n
≤40－2×14=12( 万)即元年平均收益，总收益为 12×7＋26=110万元，此时 n=7．
2
(ii) f (n) 2( 10) 102 ，∴当 n 10, f (n) max 102
n
总收