复合函数的单调性例讲.doc

复合函数的单调性例讲
2
复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲
山西忻州五寨一中 摄爱忠
高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．
①“中间变量log2x在(0，+∞)上是增函数，
y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数
【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值范围.
令，则0＜x≤，
6
(u≥ log2x≥ x≥)
所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。
用数轴标单调区间如下：




①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调
区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.
7
变式训练：
◇求函数的单调区间．
【解析】（1）此函数的定义域：；
（2）此函数是由函数复合所得；
（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减；
（4）外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；
（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减．
【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围，必须将外层函数中的
8
调整为复合函数的自变量等价的范围.
◇函数的单调递减区间是 ；单调递减区间是 .
题型4：内外函数都有两种单调性的复合型.
例 题5：
◇已知函数则
（A）在区间上是减函数 （B）在区间上是减函数
（C）在区间上是增函数 （D）在区间上是增函数
【解析】设， ，
外函数：增区间 ；减区间 ；
内函数：增区间 ；减区间
当时，，即＜1，x＞1或x＜-1；
当时，即≥1，-1≤x≤1
用数轴标出单调区间如下：
9
显然，A正确.
变式训练：
◇已知函数则的递增区间是 .
【解析】设，；
外函数：减区间 ； 增区间
内函数：减区间 ； 增区间
令；再令.
用数轴标出单调区间如下：
10
故 的单调递增区间为 和.
①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调
区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.
练习题组：
◇函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）.
（A） （B） （C） （D）
答案为B.
【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视在恒成立.
◇函数在上单调递增，则的取值范围是( ).
11
（A） （B） （C） （D）
◇（2013福建）函数的图象大致是
B． C． D．
◇（2014天津）函数的单调递增区间是
（A） （B） （C） （D）
◇求函数的单调区间
◇函数的单调区间是 .
◇函数在上是增函数，求的取值范围．
◇函数的单调性判断错误的是
（A）在递减 （B）在递增 （C）在递减（D）在递增
◇（2014年全国卷）若函数在区间是减函数，则的取值范围是________．
◇函数的单调递增区间是
12
.
◇函数的单调递减区间是（ ）.
题型5：已知函数的单调性求参数范围型.
例 题5：
◇已知函数在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是_______。
【解析】如下：
令u=x2-ax+3a，y=u． 因为y=u在(0，+∞)上是减函数 ∴ f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。
对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。 
-4＜a≤4
13
◇若f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a