连续函数的运算闭连性质.ppt

连续函数的运算闭连性质
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常用等价无穷小:

定理 设
且
存在(或为∞) , 则
(或为∞)
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§ 内容回顾
左连续
右连续
第一类间断共32页哦
二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义的区间内连续P68
例如,
的连续区间为
(端点为单侧连续)
的连续区间为
的定义域为
因此它无连续点.
而
但不能说x=2nπ是函数的间断点.
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例2. 求
解:
原式
例3. 求
解: 令
则
原式
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例4. 求
解:
原式
说明: 若
则有
“1∞”型常用此法
特别对于填空题
－1+1
若
则
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例4.
解:
所以,原式=
=6,
若
则
(91考研)
(93考研)
(95考研)
(03考研)
P75 9(6)
=
令
=
所以原式=e0=1.
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内容小结
基本初等函数在定义域内连续
连续函数的四则运算的结果连续
连续函数的反函数连续
连续函数的复合函数连续
初等函数在定义的区间内连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其
左、右连续性.
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思考与练习
续?
反例
x 为有理数
x 为无理数
处处间断,
处处连续 .
反之是否成立?
作业
P70 3 (5) , (6) , (7) ;
4 (4) , (5) ,(6) ; 6
提示:
“反之” 不成立 .
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一、最值定理
二、介值定理
§ 闭区间上连续函数的性质
第一章
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注意: 若函数在开区间上连续,
结论不一定成立 .
一、最值定理

即: 设
则
使
值和最小值.
或在闭区间内有间断
在该区间上一定有最大
(证明略)
点 ,
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例如,
无最大值和最小值
也无最大值和最小值
又如,
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推论.
由定理 1 可知有
证: 设
上有界 .
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 )
至少有一点
且
使
( 证明略 )
在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
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定理3. ( 介值定理 )
设
且
则对 A 与 B 之间的任一数 C ,
一点
证: 作辅助函数
则
且
故由零点定理知, 至少有一点
使
即
推论:
使
至少有
在闭区间上的连续函数
必取得介于最小值与最
大值之间的任何值 .
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例1. 证明方程
一个根 .
证: 显然
又
故据零点定理, 至少存在一点
使
即
说明:
内必有方程的根 ;
取
的中点
内必有方程的根 ;
可用此法求近似根.
二分法
在区间
内至少有
则
则
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内容小结
在
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当
时,
使
必存在
上有界;
在
在
称为函数的零点定理或根的存在性定理.
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作业
P73 题 2 ; 3; 5
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证: 令
1. 设
备用题
证明:方程
在(0,1)内至少有一个正根.
且
反证,设
上无零点,则不变号,
不妨设F>0.
+)
>0
>0
>0
>0
>0
矛盾.
所以…
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正根,且不超过 a+b .
证：
:方程
令
且
根据零点定理 ,
总之原命题得证 .
内至少存在一点
在开区间
显然
至少有一个
(1)若上式等号成立,则有正根a+b(不超过 a+b ).
(2)若上式等号不 成立,
为原方程的一个正根.
(也不超过 a+b ).
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3. 斜渐近线问题(P75 13)
直线L:y=ax+b是曲线y=f (x)的渐近线
而点M(x,f (x) )到直线L的距离
反之,若