定积分的换元法与分部积分法.ppt

由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来
计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步：
先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼
兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们
希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼
由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来
计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步：
先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼
兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们
希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式
有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定
积分的换元法和定积分的分部积分法.
例1
解
例1
解
有什么想法没有？
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元
时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到
原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼
兹公式便可得到定积分的结果 .

定理
证
证毕
例2
解

解
例4
解
例5
解

设
解

证

解

解
例8
证

证
∴
分部积分法
定理
证明与不定积分的情形类似 .
例10
解
什么情况下运用分部积分法呢？
定积分与不定积分的情形相同！
例11
解

解
因为

证
证毕
例13
解
例14
解
例15
解
三、定积分的近似计算
由于一些简单函数的原函数不一定简单，有些
函数的原函数还不能用初等函数表示，此外，工程
技术中的一些函数往往是由实验数据表示的，当对
这样的函数作定积分运算时就十分难办了. 于是我
们需要寻找定积分的近似计算方法 .
定积分的近似计算方法大多数是依据定积分的定义
和定积分的几何意义得到：
矩形法示意
继续分下去会有什么结果？
每次分割后，
取小区间的右端点进行计算行不行？
1. 矩形法
取左端点
取左端点
取右端点
以上两个公式称为“矩形公式”.
矩形法的误差估计：
非单调函数可以按单调性分区间来估计误差 .
2. 梯形法
y
x
a
b
3. 抛物线法——Simpson 公式
继续往下将推出什么样的结果？
例16
解
例17
解
1









0




1






矩形法
梯形法
抛物线法
比较三种方法计算的结果：
可知在相同的区间分法下，
抛物线法的计算精度最高，梯形法次之 .
4. 利用泰勒公式作定积分的近似计算
例18
解